math - 棘手的柏林噪声问题。Grad 函数如何使用归一化向量？

Question

我目前正在了解改进的 Perlin 噪声。我完全理解该理论，但是我对其常见实现的一个方面感到困惑，例如this。

我的问题是，grad() 函数如何返回归一化向量（梯度和方向）的点积？我的意思是归一化向量的点积的范围为-1到1，这是将所有点积混合（淡化）在一起后Perlin噪声的正常输出。但是经过点积的向量没有被归一化（梯度函数和方向向量都不是）。那么，输出如何落在 -1 到 1 的范围内呢？

我唯一的猜测是梯度向量的大小都为 2，方向向量的所有轴都在 -1 到 1 的范围内。所以，我认为这就是 Perlin 噪声输出最终落在 -1 范围内的原因到 1 个范围。这是为什么？任何人都可以证明或找到证据吗？

多谢你们

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Answer 1

向量没有被归一化（它们的长度是 sqrt(2)，正如其他贡献者所描述的那样），并且噪声的总输出不是精确的 -1 到 1。如果 <1, 1, 1> 的向量和所有符号排列是可能的，那么我相信最大值将在每个立方体的中心。dot(grad, offsetFromVertex) = dot(<1, 1, 1>, <0.5, 0.5, 0.5>) = 1.5, /8 表示 0.5^3 在 3 个方向的每一个方向都有一半的插值权重, *8 再次表示有 8 个顶点，所以它取消了。如果向量被归一化，并且它们可以指向每个立方体的中心，那么您将有 dot(<1, 1, 1>/sqrt(3), <0.5, 0.5, 0.5>) = 1.5/sqrt(3 ) ≈ 0.8660254037844387。

但是，这两种情况都不是这样，因此噪声的实际最小/最大值更加复杂。过去，我使用您正在查看的梯度集对噪声进行梯度上升，以找到其真正的最大值。最大值略大于 1，并且不在中心。将整个噪声乘以（或等效地将表中的每个梯度预乘以）以校正输出范围的值是 0.964921414852142333984375 。

顺便说一句，如果您还没有通过其他来源发现这一点：Perlin 很好学，但它对基轴产生了很大的偏差，并且在其特征的角度分布上产生了低变化。良好的 Simplex 类型噪声实现通常会产生更好的结果。如果您要使用 Perlin，我建议选择您的垂直（或时间，或未使用）方向，并在输入坐标上使用以下公式之一。您可以在分形求和之前执行此操作（更有效），也可以将其放入函数定义的开头（更方便）。一旦你这样做了，它就很棒，并且在正确的情况下使用时看起来比一些 Simplex 类型的噪声实现更好。但请注意，即使您的用例只是 2D，您也需要始终为该技术使用 3D 噪声。

如果 Z 是垂直的、时间的或未使用的：

double xy = x + y;
double s2 = xy * -0.211324865405187;
z *= 0.577350269189626;
x += s2 - z;
y = y + s2 - z;
z += xy * 0.577350269189626;

如果 Y 是垂直的、时间的或未使用的：

double xz = x + z;
double s2 = xz * -0.211324865405187;
y *= 0.577350269189626;
x += s2 - y;
z = z + s2 - y;
y += xz * 0.577350269189626;

之前（大量 45 度和 90 度零件）

之后（方向偏差在很大程度上是不可见的）