math - 如何通过绘制方程的实部和虚部来识别方程的根

Question

这更像是一个一般的数学问题（甚至可能很愚蠢）。但是在高中，我们学会通过它的绘图来识别方程的根。例如，对于方程

y = x^2 - 1

蓝线将向我们展示根源。这是蓝线穿过 x 的时候，所以 +- 1。

现在，如果我们说方程有一个实部和一个虚部，那么它是

y = x^2 - 1 + (x^2 - 0.5)i 

如 Mathematica 屏幕截图所示，我们有一个过零的实部和一个也过零但在不同 x 处的虚部。所以我的问题是：是否可以通过简单地查看绘图的实部和虚部来识别这样一个方程的根？

注意：我的部分困惑是，如果我在 Mathematica 中使用 FindRoot，我会得到 0.877659 - 0.142424i 或 -0.877659 + 0.142424i。所以可能是数学中的一些基本属性，我不知道它会阻止人们通过分离实部和虚部来识别复杂函数的根......

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Answer 1

我们有一个过零的实部和一个也过零但在不同 x 处的虚部。

这些是为 的实数值绘制的实部和虚部的图表x。如果它们都在同一点穿过水平轴，则意味着方程有实根，因为对于 的某个实数值，实部和虚部都为零x。然而，这个方程没有实根，所以交叉点不同。

所以我的问题是：是否可以通过简单地查看绘图的实部和虚部来识别这样一个方程的根？

f(x) = x^2 - 1 + i (x^2 - 0.5)是复变量的复函数，将复变量映射x = a + i b到复值f(x) = Re(f(x)) + i Im(f(x))。

每个Re(f(x))和Im(f(x))都是复变量的实函数。x = a + i b通过将这些函数表示为(a, b)平面中的一个点，以及沿第三维的函数值，例如 ，可以在 3D 中绘制这些函数c。例如，f(x)具有以下实部和虚部的图表。

两个表面在水平面上的横截面c = 0是一对曲线，其中每个函数分别为零。因此，这些曲线的交点是 的点Re(f(x)) = Im(f(x)) = 0，这意味着它们是方程的根f(x) = 0。

既然f(x) = 0是二次方程，它肯定有两个根，而这两个点实际上是±(0.877659 - 0.142424 i)，这可以通过直接计算来验证。