c - 为什么我在 C 中的罪孽计算代码返回错误的值?
问题描述
我想根据这个等式使用我自己的函数计算用户输入的正弦值:
sin(x) = sum_(i=0)^n (-1)^i * (x^(2 i + 1)/((2 i + 1)!))
我有这段代码,据我了解,我所做的与方程式中写的完全相同:
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int faculty(int factor)
{
int result = 1;
if (factor > 0)
{
for (int i = 1; i <= factor; i++)
{
result = result * i;
}
}
else
{
result = 1;
}
return result;
}
double my_sin(double x, int n)
{
double my_sin = 0;
for (int j = 0; j < n ; j++)
{
double i = (double)j;
double faculty_j = (double)faculty(2*j+1);
my_sin = my_sin + (pow((-1.0), i) * (pow(x, (double)(2.0 * i + 1.0)) / faculty_j));
}
return my_sin;
}
int main()
{
int n = 0;
double x = 0;
printf("x=");
scanf("%lf", &x);
printf("n=");
scanf("%i", &n);
printf("sin(%i)=", (int)x);
printf("%lf\n", my_sin(x, n));
return 0;
}
但是,例如,当我使用时x = 8
,n = 5
我得到sin(8)=149
了结果。我现在尝试调试代码一段时间,但我不知道问题可能出在哪里或如何找出问题所在。
更新代码:
#include <stdio.h>
long int factorial(int factor)
{
long int result = 1;
if (factor > 0)
{
for (int i = 1; i <= factor; i++)
{
result = result * i;
}
}
else
{
result = 1;
}
return result;
}
double my_pow(double a, double b)
{
if (b == 0)
{
return 1;
}
double result = a;
double increment = a;
double i, j;
for (i = 1; i < b; i++)
{
for (j = 1; j < a; j++)
{
result += increment;
}
increment = result;
}
return result;
}
double my_sin(double x, int n)
{
double my_sin = 0;
for (int j = 0; j < n ; j++)
{
double i = (double)j;
double faculty_j = (double)factorial(2*i+1);
my_sin = my_sin + (my_pow((-1.0), i) * (my_pow(x, 2.0 * i + 1.0) / faculty_j));
}
return my_sin;
}
int main()
{
int n = 0;
double x = 0;
printf("x=");
scanf_s("%lf", &x);
printf("n=");
scanf_s("%i", &n);
printf("sin(%i)=", (int)x);
printf("%lf\n", my_sin(x, n));
return 0;
}
解决方案
这里的问题不一定是你的代码。这只是您对方程式的期望。我在 Wolfram Alpha 中测试了 n=5 的泰勒级数,并使用查询从级数中减去了 sin(x)
(sum (-1)^i * x^(2i+1)/(2i+1)!, i=0 to 5) - sin(x)
查看错误。
如您所见,当 x 大约为 0 时,该级数的近似值非常好,但当 x 超过 3 时,误差开始变得很大,并且增长得非常快。在 x=8 时,错误的大小为 67,这显然是无用的。要获得合理的近似值,您需要使用 n=15 左右。只有五个太少了。
您应该在这里做的是利用 sin(x) = sin(x + k * 2 * PI) 的事实,其中 k 是任意整数。如果 x 是负数,你可以简单地使用 sin(x) = -sin(-x) 这个事实。我正在展示一个简单的例子来说明它是如何完成的:
double my_sin(double x, int n)
{
double my_sin = 0;
double sign = 1.0;
// sin(-x) = -sin(x)
// This does not improve accuracy. It's just to make the rest simpler
if(x<0) {
x=-x;
sign *= -1;
}
// sin(x) = sin(k*2*PI + x)
x -= 2*PI*floor(x/(2*PI));
// Continue as usual
return sign * my_sin;
}
您希望尽可能接近 x=0。为了进一步改进这一点,您可以使用 sin(x) = -sin(x+PI) 的事实,如下所示。
以上足以将所有内容保持在区间 [0, PI] 中,但实际上我们可以通过使用一些更聪明的数学来做得更好。我们可以使用 sin(x) 关于 x=PI/2 + k*PI 对称的事实。所以 sin(PI/2 -x) = sin(PI/2 + x)。利用它将使您保持在区间 [0, PI/2] 中,当您处于该区间时,n=2 足以使误差低于 0.005。对于 n=5,误差低于 10^-7。您可以在前面的步骤之后添加它:
// sin(x) = -sin(x+PI)
if(x>PI) {
x-=PI;
sign *= -1;
}
// sin(PI/2 -x) = sin(PI/2 + x)
if(x>PI/2)
x = PI - x;
但是,您的代码中有一个错误。请记住,应该包括案例 j=n,因此请更改
for (int j = 0; j < n ; j++)
至
for (int j = 0; j <= n ; j++)
另一种方法是始终在参数中添加 1 来调用函数。
只是为了清楚起见。请记住,泰勒级数期望x
以弧度为单位。如果你使用学位,你会得到错误的结果。
为了完整起见,这里是完整的功能和一些其他不影响正确性但性能和可读性的修复:
double my_sin(double x, int n)
{
double ret = 0;
double sign = 1.0;
if(x<0) {
x=-x;
sign *= -1;
}
x -= 2*PI*floor(x/(2*PI));
if(x>PI) {
x-=PI;
sign *= -1;
}
if(x>PI/2)
x = PI - x;
size_t denominator = 1;
double numerator = x;
int s = -1;
for (int j = 0; j <= n ; j++) {
denominator *= 2*j + 1;
s *= -1;
ret += s * numerator / denominator;
numerator *= x*x;
}
return sign*ret;
}
以一定的精度为目标
假设您想要 3 个正确的十进制数字。然后我们可以利用分子比分母增长慢的事实,做这样的事情:
size_t denominator = 1;
double numerator = x;
double term;
int s = -1;
int j = 0;
double tolerance = 0.001;
do {
denominator *= 2*j + 1;
j++;
s *= -1;
term = numerator / denominator;
ret += s * term;
numerator *= x*x;
} while(abs(term) > tolerance);
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