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numerical-methods - 什么时候应该开始将二次方程视为数值求根中的线性？

问题描述

我有一组二次系数 a、b 和 c 需要求解，以确定平面上两个图形之间的交点（比如说，抛物线和直线）。

然而，我的问题是，当我的抛物线如此“拉伸”以至于它开始表现得像感兴趣区域周围的一条线时，似乎忽略了 a 系数，而是线性求解 b 和 c 效果很好。

我的问题是，你在什么时候决定线性求解二次方程？推而广之，什么时候应该二次解三次方程？

当然，二次方实际上有 2 个根，但是（从计算机的角度来看，出于所有强烈和目的）只有 1 个根。

编辑：

我在数学堆栈交换上为这个问题添加了更多细节，但我仍然觉得因为这与数值不稳定性有关，我应该在这里问。这是措辞略有不同的数学问题：https ://math.stackexchange.com/questions/4000135/quadratic-formula-fails-numerically-at-small-a-coefficients

标签： numerical-methodsquadratic

解决方案

牛顿的想法是围绕x三次方程的根的猜测展开

0 = (x+h)^3 + a*(x+h)^2 + b*(x+h) + c
  = x^2+a*x^2+b*x+c + (3*x^2+2*a*x+b)*h + ...

并采用常数项和线性项来确定h根的改进（一般而言，该方法仅在几十年后由 Raphson 和 Simpson 制定）。

哈雷在计算以他的名字命名的彗星时，还提出了采用泰勒展开式的二次项并使用二次解公式的想法。切换平方根的泰勒展开式或除法会产生现代的哈雷方法、拉盖尔方法和（欧拉-）切比雪夫方法，都是三阶的。在具有多个解的公式中，h选择给出最小的那个。

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