geometry - 线到点的最小距离总是与线正交吗

Question

我有一个点和一条（弯曲的）线。现在我想找到从点到线上的点的方向垂直于线上的线的距离。
直觉上我认为线上最近点和点之间的最短连接总是正交的，但我不能 100% 确定我的几何直觉是正确的。您能否确认要找到一条线上的一点和一点之间的正交连接，检查线上的闭合点就足够了？

标签： geometry

Answer 1

你写的可以是真实的，受条件限制。

1. 您的曲线必须是闭合的，或者在无限远的地方开始/结束（如 y=1/x 或 y=x^2 的形状）。否则，最近的距离可以是到曲线的终点。

2. 曲线必须平滑。例如，三角形不平滑，法线未在 3 个顶点处定义，最近的距离可以是到顶点的距离。另一个例子，三次贝塞尔样条可能包含一个没有定义法线的奇点，见右上图： 同样，最近的距离可能是到那个奇点的距离。
   
   

另外，不要忘记它可以是具有正交连接的曲线上的多个点。你必须找到所有这些，并使用找到的最小距离。此外，在某些情况下，如果曲线包含一段圆弧，“所有这些”可以是“无限多”。