matlab - Rodrigues 公式将旋转向量转换为旋转矩阵
问题描述
我试图了解 3D 旋转向量到旋转矩阵的转换。假设我有一个 3D 旋转矢量 [abg]。从 Trucco 等人的“3D 计算机视觉介绍技术”中,我相信我可以将其表示为每个轴 x、y、z 的旋转矩阵的乘积。
但更多时候我看到使用罗德里格斯公式从旋转向量到矩阵的转换,该公式在下图中给出了 A.17
我在 Matlab 中测试这两个(我在执行 Rodrigues 的 Matlab 图像处理工具箱中使用内置的 rotationVectorToMatrix 函数),我得到的小旋转结果非常接近,例如
alpha = 1 * (pi/180);
beta = 2 * (pi/180);
gamma = 3 * (pi/180);
R = [(cos(beta) * cos(gamma)) (-cos(beta)*sin(gamma)) sin(beta);
sin(alpha) * sin(beta) * cos(gamma) + cos(alpha)*sin(gamma) ...
-sin(alpha) * sin(beta) * sin(gamma) + cos(alpha) * cos(gamma) ...
-sin(alpha) * cos(beta); ...
-cos(alpha)*sin(beta)*cos(gamma) + sin(alpha)*sin(gamma) ...
cos(alpha) * sin(beta) * sin(gamma) + sin(alpha) * cos(gamma) ...
cos(alpha) * cos(gamma)]
Rm = rotationVectorToMatrix([alpha beta gamma])'
我明白了
R =
0.9980 -0.0523 0.0349
0.0529 0.9984 -0.0174
-0.0339 0.0193 0.9985
Rm =
0.9980 -0.0520 0.0353
0.0526 0.9985 -0.0165
-0.0344 0.0184 0.9992
但是随着我的角度变大,它们会发散一点,例如,如果我这样做
alpha = 10 * (pi/180);
beta = 20 * (pi/180);
gamma = 30 * (pi/180);
我明白了
R =
0.8138 -0.4698 0.3420
0.5438 0.8232 -0.1632
-0.2049 0.3188 0.8529
Rm =
0.8089 -0.4578 0.3689
0.5166 0.8530 -0.0742
-0.2807 0.2506 0.9265
再次,我真的只是想在这里获得更好的理解,这些从旋转向量转换为矩阵的方法是否等效?我应该一直使用 Rodriguez 方法吗?如果是,为什么?谢谢你的帮助。
解决方案
“旋转矢量”假设角度是同时的。因此,使用欧拉角不是假设顺序角度的正确比较。对于小角度,您会得到一些接近的东西,但对于较大的角度,预计会有显着差异。
适当的比较是四元数,四元数也假定与旋转矢量具有相同意义的同时角度。所以像
V = [alpha beta gamma];
angle = norm(V);
q = [cos(angle/2) sin(angle/2)*V/angle];
然后与此进行比较。例如,
quat2dcm(q)
编辑
如果您没有 MATLAB Aerospace Toolbox,则可以手动进行此转换。Aerospace Toolbox 使用标量向量顺序、右链、右手 Hamilton 约定。所以转换将是:
qw = q(1); qv = q(2:4); % note qv is a row vector here
skew = @(v)[0 -v(3) v(2);v(3) 0 -v(1);-v(2) v(1) 0];
dcm = (qw^2 - qv*qv')*eye(3) + 2*qv'*qv - 2*qw*skew(qv) % right-chain Hamilton
机器人工具箱使用左链约定顺便说一句,因此如果您要与该工具箱中的函数进行比较,则需要翻转叉积偏斜项的符号。例如,
dcm = (qw^2 - qv*qv')*eye(3) + 2*qv'*qv + 2*qw*skew(qv) % left-chain Hamilton
如果您要与左手四元数约定(又名 JPL)进行比较,则翻转符号上方的叉积偏斜项。所以归结为
% right-chain right-handed Hamilton OR left-chain left-handed JPL
dcm = (qw^2 - qv*qv')*eye(3) + 2*qv'*qv - 2*qw*skew(qv)
% left-chain right-handed Hamilton OR right-chain left-handed JPL
dcm = (qw^2 - qv*qv')*eye(3) + 2*qv'*qv + 2*qw*skew(qv)
右链表示未修改的四元数出现在三元数旋转操作的右侧(通常用于两个不同坐标系之间的被动坐标系转换):
vnew = q^-1 * v * q
左链表示未修改的四元数出现在三元数旋转操作的左侧(通常用于同一坐标系内的主动向量旋转):
vnew = q * v * q^-1
右手表示四元数虚数单位像常规叉积项一样相乘。例如,
i * j = k
j * k = i
k * i = j
左手意味着四元数虚数单位像常规叉积项的负数一样相乘。即,像左手坐标系。例如,
i * j = -k
j * k = -i
k * i = -j
而且,当然,如果您使用的是向量标量顺序的四元数,则需要与上面不同地选择标量和向量部分。
推荐阅读
- docker - docker build tini tcsetpgrp 失败:权限被拒绝
- android - proguard:无法禁用对一个特定类的混淆
- google-cloud-firestore - RxJs 有没有可能解决这种数据透视表问题
- java - 如何关闭 DriverManagerDataSource 连接?
- elasticsearch - 用于 Spring Data ElasticSearch 的模拟 AbstractRoutingDataSource
- apache-kafka - 如何设置 mongo-kafka-connect?
- sparql - 计算孩子的数量和这些孩子的孩子
- sql - 如何通过使用存储过程在另一个表中查找列的值存在来更新一个表中的批量记录?
- c# - 将步骤表数据与上下文/容器中的字典数据链接
- opencv - 无法在 Arch Linux 上运行 opencv_createsamples