python - 计算半正定矩阵的矩阵幂和矩阵指数的最准确方法

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问题描述

我确实需要为 any 数值计算以下形式 $x\in\mathbb{R}^n$ ，可能在 python 中：

，其中 $M\in\mathbb{R^n}$ 是一个 PSD 矩阵，其中 k 可以获得相当大的值 - 可能高达数百个。我更喜欢 k 是一个实数，但如果它只能是一个整数也可以，如果这会产生相当大的精度差异。
同样，我对 $x^Te^{-tM}x$ t 的实际值感兴趣。

对于案例 1，我可以：

使用scipy.linalg.fractional_matrix_power计算 M^k 然后派生，或
使用scipy.linalg.svd找到 M as 的 SVD， $U\Lambda U^T$ 然后最后使用 $x^TU\Lambda^k U^Tx$ .
最后，如果 k 是整数，并且再次基于 SVD 我可以计算 $|x^TM^{k/2}|^2$ .

对于案例 2

我可以再次使用现成的scipy.linalg.expm然后取 M 的奇异值
我可以对 M 进行 SVD，然后使用 $x^TU\exp(\Lambda) U^Tx$ .
最后，由于我只对 $x^T \exp(M) x$ exp(M) 它本身感兴趣，而不是完全对它自己感兴趣，我可以考虑 $x^T{\rm expm}(M)x\约 \sum_{i=0}^{l} \frac{1}{i!}x^TM^ix$ 控制精度的一些 l 的泰勒展开，并且可以根据情况 1 计算。

任何人都可以指导我计算这些表达式中的任何一个的最精确方法是什么，希望达到机器精度？这些方法中的任何一种，还是那里有更好的解决方案？我也会很高兴有参考资料。

PS 不知道这里或 math.stackexchange.com 是否是分享这个问题的好地方，我将用相同的标题和内容交叉发布。

标签： pythonmatrixscipylinear-algebranumerical-methods

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