c++ - 使用线性代数或 BFS 查找图的直径
问题描述
我从学校收到作业说我需要在 CPP 中找到图形的直径。问题是我需要为 5000 个图执行此操作,每个图有 1000 个顶点。为了保存我的图表,我使用了这样的向量向量:
std::vector<std::vector<int>> graph
我能够在每个顶点上使用 BFS 找到图的直径并返回“最长最短”路径,但由于复杂性太差,它真的很慢
所以我在网上读到我可以使用线性代数来找出直径是多少,但这值得吗?最后计算是否需要相同的时间?
另外,这是否意味着我必须从向量的向量变为这样的矩阵?
bool** graph
感谢您的热心帮助
解决方案
我能想到的最快的算法是众所周知的 Floyd-Warshall算法,它具有复杂性O(N^3)
(N 是顶点数)。它计算所有顶点对之间的最短路径长度。
对于您的 1000 个顶点图的情况,时间是相当实惠的 - 大约 10 亿步,对于现代 CPU 上的每个图来说,这个算法需要几秒钟,我希望你能负担得起这个时间。该算法将使用 10 亿个非常简单的步骤 - 3 次缓存读取 + 1 次添加 + 1 次比较 + 1 次缓存分配。
下一个 C++ 代码执行整个循环——从字符串流输入,初始化权重,运行 Floyd-Warshall 算法来计算所有顶点对之间的最短距离,找到最大最短距离,输出结果。
可以在 CPU 的不同内核上轻松同时计算多个图,这将使整个计算速度提高数倍。
我的算法支持任何整数权重的边,甚至是负权重。算法的输入应该有权重矩阵 NxN 大小(N 是顶点数),零权重表示没有边(即无限距离)。
#include <sstream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>
int main() {
std::string inps = R"(
0 0 2 0
4 0 3 0
0 0 0 2
0 1 0 0
)";
std::stringstream inp;
inp.str(inps);
size_t const inf = size_t(-1) >> 2; // Infinity
std::vector<std::vector<size_t>> d; // Distance matrix
// Input
std::string line;
while (std::getline(inp, line)) {
if (line.find_last_not_of(" \r\n\t") == std::string::npos)
continue;
d.resize(d.size() + 1);
std::stringstream ss;
ss.str(line);
size_t x = 0;
while (ss >> x)
d.back().push_back(x);
}
// Compute shortest distances. Algo https://en.wikipedia.org/wiki/Floyd%E2%80%93Warshall_algorithm
for (size_t i = 0; i < d.size(); ++i)
for (size_t j = 0; j < d[i].size(); ++j)
if (d[i][j] == 0 && i != j)
d[i][j] = inf;
for (size_t k = 0; k < d.size(); ++k)
for (size_t i = 0; i < d.size(); ++i)
for (size_t j = 0; j < d.size(); ++j)
d[i][j] = std::min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
// Find longest distance.
size_t maxd = 0, maxi = 0, maxj = 0;
for (size_t i = 0; i < d.size(); ++i)
for (size_t j = 0; j < d.size(); ++j)
if (maxd < d[i][j]) {
maxd = d[i][j];
maxi = i;
maxj = j;
}
// Output
std::cout << "diameter " << maxd << " from vertex " << maxi << " to " << maxj << std::endl;
}
输出:
diameter 7 from vertex 2 to 0
可以看到,从顶点 2 到顶点 0 的直径(最长最短路径长度)等于 7。
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