floating-point - 网格步长（两个相邻机器可表示数字之间的差异

Question

我写了这样一个代码来查找网格步长（两个相邻的机器可表示数字之间的差异，机器 epsilon 是大于 1 和 1 的最小机器可表示数字之间的差异）。为什么这个程序对于 x 的巨大值显示 1 以及如何修复它以显示正确答案？

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    long double x,eps=1.0,a; 
    scanf("%Lg",&x);
    do
    {
        a=eps;
        eps/=2.0;
    }
    while( x+eps>x);
    printf("Grid step: %Le",(long double)a);
    return 0;
}

标签： floating-pointieee-754

Answer 1

浮点数表示为符号（+1 或 -1）s、指数e和具有固定基数（称为有效数）的固定位数的数字f 。以b为底，精度（位数）p，用符号s、指数e和数字f ₀、f _-1、f _-2、f _-3、f _-4、… f _{1−<em>表示的数字p}是s •<em>b ^e •sum( f _i •<em>bⁱ为 -<em>p < i ≤ 0)。

例如，底数为 2、精度为 4、符号 +1、指数 1 和有效位数 1.001，表示的数字为 +1•2 ¹ •1.001 ₂ = 2•1⅛ = 2¼ = 9/4 = 2.25。

给定范围内的任何可表示数，通过将有效数的最低位加 1 来获得下一个更大的可表示数。在上面的例子中，下一个更大的数的有效数为 1.010，并且具有相同的符号和指数，因此它将是 +1•2 ¹ •1.010 ₂ = 2•1¼ = 2½ = 10/4 = 2.5。

这意味着，如果一个数x用指数e表示，那么它与下一个更大的可表示数之间的差是b ^e •<em>b ^1−<em>p = b ^{e +1−<em>p}。

数字 1 用指数 0 表示，因为 1 = +1•<em>b ⁰ •1.000…000 _b。所以 1 和下一个可表示的数字之间的差是b ^1−<em>p。如果您的long double格式的底数为 2，精度为 64 位（位），则此差异为 2 ¹⁻⁶⁴ = 2 ⁻⁶³，因此所谓的“机器 epsilon”的值应为 2 ⁻⁶³。

如果使用二进制格式，则 2 用指数 1 表示，因此它与下一个可表示数字之间的差是b ^{e +1−<em>p} = 2 ¹⁺¹⁻⁶⁴ = 2 ⁻⁶²。这些差异称为 ULP，即最低精度单位。

4 的 ULP 为 2 ^-61，8 的 ULP 为 2 ^-60，依此类推。对于 2 ⁶³，ULP 为 2 ⁶³⁻⁶³ = 1。

当您输入 2 ⁶⁴或更大的数字时，您的程序无法找到 ULP，因为 ULP 大于 1，但您的程序开始查找 1 并向下工作。

您可以通过从long double格式中可能最大的 ULP 开始或通过将程序更改为向上或向下工作来修复它，具体取决于x.