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python - 对有滞后的列求和的最快方法

问题描述

给定一个方阵，我想将每一行移动其行号并对列求和。例如：

array([[0, 1, 2],        array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],    ->            [3, 4, 5],      ->   array([0, 1+3, 2+4+6, 5+7, 8]) = array([0, 4, 12, 12, 8])
       [6, 7, 8]])                    [6, 7, 8]])

我有 4 个解决方案 - fast、和，它们的作用完全相同，并按速度排名slow：slowerslowest

def fast(A):
    n = A.shape[0]
    retval = np.zeros(2*n-1)
    for i in range(n):
        retval[i:(i+n)] += A[i, :]
    return retval

def slow(A):
    n = A.shape[0]
    indices = np.arange(n)
    indices = indices + indices[:,None]
    return np.bincount(indices.ravel(), A.ravel())

def slower(A):
    r, _ = A.shape
    retval = np.c_[A, np.zeros((r, r), dtype=A.dtype)].ravel()[:-r].reshape(r, -1)
    return retval.sum(0)

def slowest(A):
    n = A.shape[0]
    retval = np.zeros(2*n-1)
    indices = np.arange(n)
    indices = indices + indices[:,None]
    np.add.at(retval, indices, A)
    return retval

令人惊讶的是，非矢量化解决方案是最快的。这是我的基准：

A = np.random.randn(1000,1000)

%timeit fast(A)
# 1.85 ms ± 20 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

%timeit slow(A)
# 3.28 ms ± 9.55 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

%timeit slower(A)
# 4.07 ms ± 18.7 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

%timeit slowest(A)
# 58.4 ms ± 993 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

是否存在更快的解决方案？如果没有，有人可以解释为什么实际上fast是最快的吗？

编辑

略微加速slow：

def slow(A):
    n = A.shape[0]
    indices = np.arange(2*n-1)
    indices = np.lib.stride_tricks.as_strided(indices, A.shape, (8,8))
    return np.bincount(indices.ravel(), A.ravel())

以与 Pierre 相同的方式绘制运行时（以 2**15 作为上限 - 由于某种原因slow无法处理此大小） 在此处输入图像描述

slow对于.numba的数组，比任何解决方案（不使用 ）略快 仍然是数组的最佳选择。100x100sum_antidiagonals1000x1000

标签： pythonarraysnumpyoptimizationvectorization

解决方案

这是一种有时比您的“ ”版本更快的方法，但仅限于数组fast()的有限范围n（大约在 30 到 1000 之间） 。即使使用，n x n循环 ( fast())在大型数组上也很难被击败numba，并且实际上渐近收敛到 simple 的时间a.sum(axis=0)，这表明这与大型数组的效率差不多（感谢您的循环！）

该方法（我将称之为sum_antidiagonals()）用于np.add.reduce()条纹版本a和来自相对较小的 1D 阵列的合成蒙版，该阵列被条纹以创建 2D 阵列的错觉（不消耗更多内存）。

此外，它不限于方形数组（但fast()也可以很容易地适应这种泛化，请参见fast_g()本文底部）。

def sum_antidiagonals(a):
    assert a.flags.c_contiguous
    r, c = a.shape
    s0, s1 = a.strides
    z = np.lib.stride_tricks.as_strided(
        a, shape=(r, c+r-1), strides=(s0 - s1, s1), writeable=False)
    # mask
    kern = np.r_[np.repeat(False, r-1), np.repeat(True, c), np.repeat(False, r-1)]
    mask = np.fliplr(np.lib.stride_tricks.as_strided(
        kern, shape=(r, c+r-1), strides=(1, 1), writeable=False))
    return np.add.reduce(z, where=mask)

请注意，它不限于方数组：

>>> sum_antidiagonals(np.arange(15).reshape(5,3))
array([ 0,  4, 12, 21, 30, 24, 14])

解释

为了理解它是如何工作的，让我们用一个例子来检查这些条带数组。

给定一个初始数组a：(3, 2)

a = np.arange(6).reshape(3, 2)
>>> a
array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5]])

# after calculating z in the function
>>> z
array([[0, 1, 2, 3],
       [1, 2, 3, 4],
       [2, 3, 4, 5]])

你可以看到它几乎是我们想要的sum(axis=0)，除了上下三角形是不需要的。我们真正想要总结的是：

array([[0, 1, -, -],
       [-, 2, 3, -],
       [-, -, 4, 5]])

输入掩码，我们可以从一维内核开始构建它：

kern = np.r_[np.repeat(False, r-1), np.repeat(True, c), np.repeat(False, r-1)]
>>> kern
array([False, False,  True,  True, False, False])

我们使用了一个有趣的 slice: (1, 1)，这意味着我们重复同一行，但每次滑动一个元素：

>>> np.lib.stride_tricks.as_strided(
...        kern, shape=(r, c+r-1), strides=(1, 1), writeable=False)
array([[False, False,  True,  True],
       [False,  True,  True, False],
       [ True,  True, False, False]])

然后我们只需将其向左/向右翻转，并将其where用作np.add.reduce().

速度

b = np.random.normal(size=(1000, 1000))

# check equivalence with the OP's fast() function:
>>> np.allclose(fast(b), sum_antidiagonals(b))
True

%timeit sum_antidiagonals(b)
# 1.83 ms ± 840 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

%timeit fast(b)
# 2.07 ms ± 15.2 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

在这种情况下，它会快一点，但只有大约 10%。

在 300x300 阵列上，sum_antidiagonals()比fast().

然而！

尽管放在一起z并且mask非常快（在np.add.reduce()上面的 1000x1000 示例中，之前的整个设置只需要 46 µs），但总和本身是O[r (r+c)]，即使只需要O[r c]实际的加法（其中mask == True）。因此，对于方形阵列，大约要多做 2 倍的操作。

在 10K x 10K 阵列上，这赶上了我们：

  • fast需要 95 毫秒，而
  • sum_antidiagonals需要 208 毫秒。

通过尺寸范围进行比较

我们将使用可爱的perfplot包通过以下范围比较多种方法的速度n：

perfplot.show(
    setup=lambda n: np.random.normal(size=(n, n)),
    kernels=[just_sum_0, fast, fast_g, nb_fast_i, nb_fast_ij, sum_antidiagonals],
    n_range=[2 ** k for k in range(3, 16)],
    equality_check=None,  # because of just_sum_0
    xlabel='n',
    relative_to=1,
)

相对于 fast() 的各种方法的速度

观察

  • 如您所见，sum_antidiagonals()速度优势fast()被限制在n大约 30 到 1000 之间的范围内。
  • 它永远不会击败numba版本。
  • just_sum_0()，这只是简单的总和axis=0（因此是一个很好的底线基准，几乎不可能被击败），对于大型阵列来说只是稍微快一点。这一事实表明，fast()它与大型阵列一样快。
  • 令人惊讶的是，numba在一定大小后会减损（即在前几次运行以“烧入”LLVM 编译之后）。我不确定为什么会这样，但它似乎对大型阵列很重要。

其他功能的完整代码

（包括fast对非方形数组的简单概括）

from numba import njit

@njit
def nb_fast_ij(a):
    # numba loves loops...
    r, c = a.shape
    z = np.zeros(c + r - 1, dtype=a.dtype)
    for i in range(r):
        for j in range(c):
            z[i+j] += a[i, j]
    return z

@njit
def nb_fast_i(a):
    r, c = a.shape
    z = np.zeros(c + r - 1, dtype=a.dtype)
    for i in range(r):
        z[i:i+c] += a[i, :]
    return z

def fast_g(a):
    # generalizes fast() to non-square arrays, also returns the same dtype
    r, c = a.shape
    z = np.zeros(c + r - 1, dtype=a.dtype)
    for i in range(r):
        z[i:i+c] += a[i]
    return z

def fast(A):
    # the OP's code
    n = A.shape[0]
    retval = np.zeros(2*n-1)
    for i in range(n):
        retval[i:(i+n)] += A[i, :]
    return retval

def just_sum_0(a):
    # for benchmarking comparison
    return a.sum(axis=0)

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