python - 为什么numpy.linalg.eig不满足“矩阵点特征向量=特征值点特征向量”?
问题描述
谈话很便宜,这是代码。
#!/usr/bin/env python
# coding=utf-8
from numpy import linalg as nlin
from numpy import dot,array
def check_eig(matrix):
eigen_values,eigen_vector_matrix=nlin.eig(test_matrix)
print('list of eigen values:','\n',eigen_values)
print('matrix of eigen vectors:','\n',eigen_vector_matrix)
for i in range(len(eigen_values)):
print('='*5)
print('current eigen value:',eigen_values[i])
print('current eigen vector:',eigen_vector_matrix[:,i])
print(dot(matrix,eigen_vector_matrix[:,i])==dot(eigen_values[i],eigen_vector_matrix[:,i]))
print('-'*5)
pass
if __name__=='__main__':
test_matrix=array([[2,4,7,3],[3,4,1,9],[2,3,6,1],[5,5,10,11]])
check_eig(test_matrix)
pass
输出是:
list of eigen values:
[19.53900138+0.j -0.67342882+0.j 2.06721372+2.80827583j
2.06721372-2.80827583j]
matrix of eigen vectors:
[[ 0.33504457+0.j -0.94360845+0.j -0.1790607 -0.21350827j
-0.1790607 +0.21350827j]
[ 0.51694078+0.j 0.23884601+0.j 0.79630803+0.j
0.79630803-0.j ]
[ 0.21990713+0.j 0.14936312+0.j -0.33955605-0.22141925j
-0.33955605+0.22141925j]
[ 0.75641141+0.j 0.17391471+0.j -0.07359501+0.34424407j
-0.07359501-0.34424407j]]
=====
current eigen value: (19.53900137643081+0j)
current eigen vector: [0.33504457+0.j 0.51694078+0.j 0.21990713+0.j 0.75641141+0.j]
[False False False False]
-----
=====
current eigen value: (-0.6734288183538105+0j)
current eigen vector: [-0.94360845+0.j 0.23884601+0.j 0.14936312+0.j 0.17391471+0.j]
[False False False False]
-----
=====
current eigen value: (2.06721372096151+2.808275832055751j)
current eigen vector: [-0.1790607 -0.21350827j 0.79630803+0.j -0.33955605-0.22141925j
-0.07359501+0.34424407j]
[False False False False]
-----
=====
current eigen value: (2.06721372096151-2.808275832055751j)
current eigen vector: [-0.1790607 +0.21350827j 0.79630803-0.j -0.33955605+0.22141925j
-0.07359501-0.34424407j]
[False False False False]
-----
这很奇怪;谁能告诉我为什么 numpy.linalg.eig 中的方法不满足基本方程“矩阵点特征向量 = 特征值点特征向量”?
解决方案
舍入误差。
如果我们将 替换为==
,-
我们会发现差异都非常小,10⁻¹⁵ 和相似。
这通常适用于计算机上的浮点数学。将它们与 精确比较==
会产生不可靠的结果,有时匹配,有时不匹配。
当我们需要比较浮点数时,我们需要减去它们,取绝对值并检查它是否小于某个容差(通常称为“epsilon”,尽管这也有一些不同的技术含义)。
如果我们这样写,测试就通过了:
abs(矩阵点特征向量 - 特征值点特征向量) < 10⁻¹⁴
print(abs(dot(matrix, eigen_vector_matrix[:,i]) - dot(eigen_values[i], eigen_vector_matrix[:,i])) < 1e-14)
当舍入误差仍然很小时,有一个完整的研究领域,“数值稳定性”。例如,计算标准差的教科书公式就有这个问题——如果直接实现,舍入误差会变大——因此必须使用不同的公式在计算机上计算标准差。
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