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algorithm - strtof() 的实现，浮点乘法和尾数舍入问题

问题描述

这个问题与其说是关于 C，不如说是关于算法。我需要实现strtof()功能，它的行为与 GCC 完全相同 - 并且从头开始（没有 GNU MPL 等）。

让我们跳过检查，只考虑正确的输入和正数，例如 345.6e7。我的基本算法是：

  1. 将数字拆分为分数和整数指数，因此对于 345.6e7，分数为 3.456e2，指数为 7。
  2. 创建一个浮点指数。为此，我使用这些表：
static const float powersOf10[] = {
   1.0e1f,
   1.0e2f,
   1.0e4f,
   1.0e8f,
   1.0e16f,
   1.0e32f
};

static const float minuspowersOf10[] = {
   1.0e-1f,
   1.0e-2f,
   1.0e-4f,
   1.0e-8f,
   1.0e-16f,
   1.0e-32f
};

并将浮点指数作为整数指数中相应位的乘积，例如 7 = 1+2+4 => float_exponent = 1.0e1f * 1.0e2f * 1.0e4f。

  1. 将分数乘以浮动指数并返回结果。

第一个问题来了：因为我们做了很多乘法，我们得到一个有点大的错误，因为每次四舍五入的乘法结果。因此，我决定深入研究浮点乘法算法并自己实现它：一个函数采用多个浮点数（在我的情况下 - 最多 7 个）并将它们在位级别上相乘。考虑我有uint256_t适合尾数产品的类型。

现在，第二个问题：将尾数积舍入到 23 位。我尝试了几种舍入方法（四舍五入，冯诺依曼四舍五入 -一篇关于它们的小文章），但没有一个可以为所有测试数字提供正确的结果。其中一些真的让我很困惑，比如这个：

7038531e-32。GCC 的strtof()返回 0x15ae43fd，所以正确的无偏尾数是 2e43fd。我选择乘以 7.038531e6（偏置尾数 d6cc86）和 1e-32（bm cfb11f）。得到的二进制形式的无偏尾数是

( 47)0001 ( 43)0111 ( 39)0010 ( 35)0001
( 31)1111 ( 27)1110 ( 23)1110 ( 19)0010
( 15)1011 ( 11)0101 (  7)0001 (  3)1101

我必须四舍五入到 23 位。但是，通过所有舍入方法，我必须将其四舍五入，结果我会得到 2e43fe - 错误！因此，对于这个数字，获得正确尾数的唯一方法就是将其切碎 - 但切碎不适用于其他数字。

这在无数个晚上都有效，我的问题是：

  1. 这种 strtof() 方法是否正确？（我知道 GCC 使用 GNU MPL，并试图深入了解它。但是，尝试复制 MPL 的实现需要移植整个库，这绝对不是我想要的）。也许这种先拆分后乘算法不可避免地容易出错？我做了一些其他的小技巧，（例如，为浮点范围内的所有整数指数创建指数表），但它们导致了更多失败的转换。

  2. 如果是这样，我在四舍五入时是否遗漏了什么？我想了很久，但是这个 7038531e-32 的号码让我完全糊涂了。

标签： algorithmfloating-pointroundingmultiplicationstrtod

解决方案

如果我想尽可能精确，我通常会做这样的事情（但我通常会做反向操作 float -> text）：

  1. 只使用整数（从来没有浮点数）

    如您所知，浮点数是整数尾数按整数指数移位，因此不需要浮点数。

    为了构造最终的浮点数据类型，您可以使用简单union的浮点数和 32 位无符号整数...或指向相同地址的此类类型的指针。

    这将避免完全适合的数字的舍入错误，以及那些不太适合的数字的缩小误差。

  2. 使用十六进制数字

    您可以将运行时的十进制数文本转换为十六进制对应物（仍为文本），从那里创建尾数和指数整数很简单。

    这里：

    是对文本进行数字转换dec2hex的C++ 实现示例hex2dec

  3. 转换时为尾数使用更多位

    对于这样的任务和单精度浮点数，我通常使用 2 或 3 个 32 位 DWORD 来表示 24 位尾数，以便在乘法后仍保持一定的精度如果你想要精确，你必须处理整数和小数的 128+24 位数字的一部分，因此按顺序排列 5x32 位数字。

有关更多信息和灵感，请参阅（反向操作）：

您的代码将与此相反（很多部分都是相似的）

自从我发布了我制作的更高级的版本，它可以识别格式printf，支持更多的数据类型和更多，而不使用任何库（但是它的代码约为 22.5 KB）。我需要它用于 MCU，因为 GCC 的打印实现在那里不是很好......

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