r - 为什么 R 文档指出可能出现大于最大归一化浮点数的数字？

Question

R 对双精度浮点数使用 IEEE 754 标准。根据我对这个标准的理解，虽然有非常小的次正常值可以填补下溢间隙，但对于较大的数字来说没有这样的等价物。

我得到最大的浮点数如下：

.Machine$double.xmax
[1] 1.797693e+308

以十六进制打印它以查看完整的二进制表示，我得到

sprintf("%+13.13a", .Machine$double.xmax)
[1] "+0x1.fffffffffffffp+1023"

现在，指数有它的最大可能值（我们有偏差指数 2046，偏差指数 2047 是为特殊情况保留的，即无穷大/NaN），有效数有它的最大可能值（所有 53 个二进制数字都是 1） . 因此，我认为不能代表更大的数字。

但是 .Machine 的 R 文档（请参阅https://www.rdocumentation.org/packages/base/versions/3.6.2/topics/.Machine）说明以下内容double.xmax：

最大的归一化浮点数。通常，它等于(1 - double.neg.eps) * double.base ^ double.max.exp，但在某些机器上，它只是此类数字的第二大或第三大，在有效数字的最后一位数字中太小了 1 或 2 个单位。通常为 1.797693e+308。请注意，可能会出现更大的非规范化数字。

这是什么意思？更大的数字怎么会出现？

标签： rfloating-pointprecision

Answer 1

编辑：下面更新，因为原始答案在技术上不正确（因为我没有在电脑上检查）。请跳过第一段回答。

如果您提供的数字太大，则数字将被四舍五入，但指数将在大致范围内。您没有提供完整长度的小数，但我们假设您提供了。如果1.797693e+308是最大数字，那么1.797693999e+308将缩写为1.797693e+308。R 不会失败，你会很困惑。但是你可能有一个更大的数字58.88888999+310，比如它可能会四舍五入到58.8888888+310. 您将需要使用为非常大的数字制作的包。这是因为最大指数是一个以 2 为底的数字（309 不是），并且您可以使用比有效数字更大的指数。

编辑：

.Machine$double.xmax
# [1] 1.797693e+308

format(.Machine$double.xmax, scientific = FALSE)
# [1] "179769313486231570838400602864442228000008602082842266064064680402680408280648240046204888888288080622822420842246006644866884860462806420066668022046626024066662068886808602862886866800048228686262462640668044406484606206082824406288200264266406808068464046840608044222802268424008466606886862062820068082688"

.Machine$double.xmax + 100
# [1] 1.797693e+308

format(.Machine$double.xmax + 100, scientific = FALSE)
# [1] "179769313486231570838400602864442228000008602082842266064064680402680408280648240046204888888288080622822420842246006644866884860462806420066668022046626024066662068886808602862886866800048228686262462640668044406484606206082824406288200264266406808068464046840608044222802268424008466606886862062820068082688"

(.Machine$double.xmax + 100) == (.Machine$double.xmax)
# [1] TRUE

# Problem that can rarely occur:
# index <- index + 1 # This will give the same answer for numbers that are too large...