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python - 检查 3D 点是否在基于正方形的金字塔中

问题描述

如果我有一个基于正方形的金字塔，我知道每个点（全部 5 个），那么确定给定点是否在该金字塔内的算法是什么？我在这里看到了一个类似的问题Algorithm for checks if 3D point inside convex polyhedron (square pyramid) and here How to check if the point is in the tetrahedron or not? . 那里给出的答案并没有真正的帮助，数学对我来说也没有用。我已经看到了为每个平面创建法线（4 个三角形 + 1 个正方形）并检查点位于平面的哪一侧的方法……但是我不知道正确的数学方法。

如果有人可以帮助我计算数学/算法（最好有解释），那真的很有帮助。

可视化

示例输入：

# Pyarmid Points
A = np.array([2, 2, 4]) # pyramid top
B = np.array([1, 1, 1]) 
C = np.array([1, 3, 3])
D = np.array([3, 3, 1])
E = np.array([3, 1, 1])

# Example points
point_inside = np.array([2, 2, 2])
point_outside = np.array([3, 3, 3])

示例期望：

def check_point_in_pyramid(A, B, C, D, E, Point):

    # math...
    
    if point_inside_pyramid:

        return true


    return false

所以对于 point_inside 函数返回为真，而对于 point_outside 则为假。

标签： pythonmath3dcoordinates

解决方案

我在这里把右边当作正面，把左边当作负面：

根据您的金字塔，它由 5 个面定义，因此也可以由 5 个平面定义。平面只是一个平面（没有体积；只有面积）表面。，由等式定义ax + by + cz + d = 0。但是，要回答您的问题，我们只需要平面的法线，它由上述等式的三个系数给出N = (a, b, c)。

假设我们使用ACD了您图像中的平面。我们也可以通过这样的叉积来找到平面的法线：(D - A) x (C - A)，这给了我们法线，N。

现在我们还需要一个方向向量，它从我们正在测试的 3D 点指向平面上的任何点。为简化起见，我们可以只使用点之一：A，C或D（让我们使用A），因为它们仍然被认为是平面的一部分。

像这样：directionVector = point_outside - A

现在我们有了这样的方法：

这里

现在，如果我们取方向向量和法线 ( ) 的点积，float value = directionVector . N我们只会得到一个数值。

然而，数值的符号告诉我们该点是在内部还是外部（3D 点在平面的哪一侧）。

因此，如果value > 0，则该点位于金字塔内部（平面右侧），如果value < 0，则该点位于金字塔外部（平面左侧）。

现在，如果对金字塔的所有其他 4 个平面重复此过程。如果它们都返回正值，则该点确实在金字塔内部。但是，如果其中一个返回负值，则该点位于金字塔外部。

注意 1：确保平面的法线朝向金字塔外而不是内部。

注意2：如果你颠倒了正负边（如果现在左为正，右为负），请确保也反转不等式。

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