python - 在 Python 中查找矩阵变为奇异的值

Question

让我们采用以下方阵：

import numpy as np
A = np.array([[10.0, -498.0],
             [-2.0, 100.0]])

如果 A 的行列式 (A[0,0]*A[1,1]-A[0,1]*A[1,0]) 为零，则 A 将是奇异的。例如，如果 A[0,1] 取值 -500.0（其他所有内容不变），则 A 将是单数：

from sympy import symbols, Eq, solve

y = symbols('y')
eq = Eq(A[0,0]*A[1,1]-y*A[1,0])
sol = solve(eq)
sol

如何找到所有值（A[0,0],A[0,1],...），其中 A（或任何给定的方阵）有效地变为奇异（我使用大型矩阵）？提前谢谢了。

标签： pythonnumpymatrixlinear-algebra

Answer 1

诀窍是使用拉普拉斯展开来计算行列式。公式是

det(A) = sum (-1)^(i+j) * a_ij * M_ij

所以要使矩阵奇异，你只需要使用上面的公式，将主题更改为 a_ij 并设置 det(A) = 0。可以这样做：

import numpy as np

def cofactor(A, i, j):
    A = np.delete(A, (i), axis=0)
    A = np.delete(A, (j), axis=1)
    return (-1)**(i+j) * np.linalg.det(A)


def make_singular(A, I, J):
    n = A.shape[0]
    s = 0
    for i in range(n):
        if i != J:
            s += A[I, i] * cofactor(A, I, i)

    M = cofactor(A, I, J)
    if M == 0:
        return 'No solution'
    else:
        return -s / M

测试：

>>> M = np.array([[10.0, -498.0],
                  [-2.0, 100.0]])
>>> make_singular(M, 0, 1)
-500.0000000000002

>>> M = np.array([[10.0, -498.0],
                  [0, 100.0]])
>>> make_singular(M, 0, 1)
'No solution'