r - 二次优化 - 投资组合最大化问题
问题描述
在投资组合分析中,给定期望,我们的目标是找到每个资产的权重以最小化方差
这是代码
install.packages("quadprog")
library(quadprog)
#Denoting annualized risk as an vector sigma
sigma <- c(0.56, 7.77, 13.48, 16.64)
#Formulazing the correlation matrix proposed by question
m <- diag(0.5, nrow = 4, ncol = 4)
m[upper.tri(m)] <- c(-0.07, -0.095, 0.959, -0.095, 0.936, 0.997)
corr <- m + t(m)
sig <- corr * outer(sigma, sigma)
#Defining the mean
mu = matrix(c(1.73, 6.65, 9.11, 10.30), nrow = 4)
m0 = 8
Amat <- t(matrix(c(1, 1, 1, 1,
c(mu),
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 1), 6, 4, byrow = TRUE))
bvec <- c(1, m0, 0, 0, 0, 0)
qp <- solve.QP(sig, rep(0, nrow(sig)), Amat, bvec, meq = 2)
qp
x = matrix(qp$solution)
x
(t(x) %*% sig %*% x)^0.5
我了解 mu 和协方差矩阵的公式,并且知道quadprog
绘图的用法
但是,我不明白为什么Amat
并bvec
以这种方式定义,为什么是 6 x 4 矩阵。
$mu0$ 是我们对投资组合的期望值,它固定为 8%
解决方案
您可能知道,Amat
有四列的原因是您分配了四种资产。它有六行,因为您的问题中有六个约束:
- 分配加起来为 1 (100%)
- 预期回报 = 8%
- “货币市场”分配 >= 0
- “资本稳定”分配 >= 0
- “余额”分配 >= 0
- “增长”分配 >= 0
查看定义每个约束的数字。他们是bvec
为什么[1, 8, 0, 0, 0, 0]
。在这六个中,前两个是等式约束,这就是为什么meq
设置为 2(其他四个是大于或等于约束)。
编辑添加:
约束的工作方式是这样的:每列Amat
定义一个约束,然后将其乘以资产分配,结果等于(或大于或等于)在 中设置的某个目标bvec
。例如:
的第一列Amat
是[1, 1, 1, 1]
,第一个条目bvec
是 1。所以第一个约束是:
1 * money_market + 1 * capital_stable + 1 * balance + 1 * growth = 1
这是一种说法,资产分配加起来等于 1。
第二个约束表示预期收益加起来为 8:
1.73 * money_market + 6.65 * capital_stable + 9.11 * balance + 10.32 * growth = 8
现在考虑第三个约束条件,即“货币市场”分配大于或等于零。Amat
那是因为is的第 3 列[1, 0, 0, 0]
和 的第三个条目bvec
是 0。所以这个约束看起来像:
1 * money_market + 0 * capital_stable + 0 * balance + 0 * growth >= 0
简化,这与以下内容相同:
money_market >= 0
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