algorithm - 为什么置换算法的时间复杂度是 n*n!而不是 n^3 * n!?
问题描述
作者声称这种置换算法的时间复杂度:
from collections import deque
def find_permutations(nums):
nums_l = len(nums)
perms = deque()
perms.append([])
for num in nums: # (1)
for _ in range(len(perms)): # (2)
perm = perms.popleft()
for j in range(len(perm)+1): # (3)
new_perm = list(perm) # (4)
new_perm.insert(j, num) # (5)
perms.append(new_perm) # (6)
return perms
是n*n!
但我不明白为什么。这是我对每行代码的时间复杂度的计算:
(1): len(nums) ~ n
(2): len(perms) ~ n!
(3): len(perm) ~ n
(4): n
(5): n
(6): n
所以总时间复杂度为:
n * n! * n * (n + n + n) ~ n^3 * n!
我错了吗?
解决方案
在讨论主要问题之前,步骤 (6) 有一个小错误:append
是 O(1)。但这并不影响整体的复杂性。
您的分析在第 (2) 步出错:
for _ in range(len(perms)):
这不会执行 O(n!) 次迭代。第一次它甚至只执行1次迭代,第二次还是1次迭代,第三次2次迭代,然后是2 * 3,然后是2 * 3 * 4,……最后一次(n-1)!迭代。
那么在第(3)步也有高估:
for j in range(len(perm)+1)
的大小perm
最初很小(对应于步骤 2 的循环):首先排列的大小为 0,然后在外循环的下一次迭代中,它们的大小为 1,...然后 2,...向上为 n-1。
所以对于内部循环的总迭代次数,我们有这个总和:
1 * 1 + 1 * 2 + 2 * 3 + (2 * 3) * 4 + ... + k!+ ... 嗯!
一种更简单的方法是认识到,在外循环的每次迭代中,这段代码都会产生比其前一次迭代长一个项目的所有排列。因此,在第一次迭代中,您获得所有大小为 1 的排列(使用第一个输入值),在第二次迭代中,您获得所有大小为 2 的排列(使用两个第一个输入值),......等等。这是一种自下而上的方法。另请注意,popLeft
执行正确的次数以删除先前(外部)迭代的所有排列,而append
针对所有新排列(仅在下一次外部迭代中弹出)执行。
所以我们现在可以很容易地看到它append
被执行了这么多次:
1!+ 2!+ 3!+ 4!+ ... + n!= O(n!)
如果我们现在将步骤 4 的复杂性包括在内(它“吸收”了步骤 5 的复杂性),那么我们得到:
1.1!+ 2.2!+ 3.3!+ 4.4!+ ... + 嗯!= O(nn!)
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