probability - 设计一个实验，从 100 个硬币中找出不公平的硬币

Question

假设有 100 个硬币，其中只有 1 个硬币是不公平的。这个不公平的硬币得到正面的概率小于 0.5。我如何设计一个实验来找到不公平的硬币？

我认为一种方法是多次翻转每个硬币（例如，10000 次）。然后将挑选正面数量最少的硬币作为不公平硬币。但是还有其他更聪明的方法可以做到这一点吗？

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Answer 1

这可能会奏效，但如果你能衡量一下你选择正确硬币的信心，那就太好了，因为如果硬币只是非常不公平，你可能需要大量的试验才能自信地说出哪个硬币有偏见，而且听起来好像没有给你多少偏见，所以没有特别的理由怀疑 10000 次试验就足够了：可能需要更多（或更少）的试验。例如，如果硬币偏差只有 P(h) = 0.49999（所有其他硬币的 P(h) = 0.5）并且在 10000 次试验后产生最少正面的硬币只比第二低产生的正面少 1 个，那么您可能希望将这些信息考虑在内并继续前进，直到您有数学理由确信您找到了正确的硬币。

为了实现这一点，您可以采用贝叶斯方法并分批进行 100 或 1000 次试验，在每批之后根据贝叶斯规则更新每个硬币公平的后验概率（给所有硬币的先验概率为 99/100） . 您可以继续此操作，直到一枚硬币的后验概率小于 0.05，或者采取额外的步骤来验证其他硬币的后验概率 >= .95。这样，您的实验对于找到有偏见的硬币所需的试验次数是不可知的，并且只会继续进行，直到一个明显与其他硬币区分开来。