简介
网格简化是图形学中的一项重要操作，可以加深对于图形学的理解
论文
Surface Simplification Using Quadric Error Metrics
实现步骤
算法思路：
- 计算每一个点的 Kp 矩阵
\[K_{p}=\left(\begin{array}{llll}
a^{2} & a b & a c & a d \\
a b & b^{2} & b c & b d \\
a c & b c & c^{2} & c d \\
a d & b d & c d & d^{2}
\end{array}\right)\]
2建立最小堆 使用 multiset 建立
3.迭代
a.移动顶点
b.删除顶点
c.增加面
TIPS
1.
\[\begin{aligned}
\Delta(\mathbf{v}) &=\sum_{\mathbf{p} \in \operatorname{planes}(\mathbf{v})}\left(\mathbf{v}^{\top} \mathbf{p}\right)\left(\mathbf{p}^{\top} \mathbf{v}\right) \\
&=\sum_{\mathbf{p} \in \text { planes }(\mathbf{v})} \mathbf{v}^{\top}\left(\mathbf{p} \mathbf{p}^{\top}\right) \mathbf{v} \\
&=\mathbf{v}^{\top}\left(\sum_{\mathbf{p} \in \text { planes }(\mathbf{v})} \mathbf{K}_{\mathbf{p}}\right) \mathbf{v}
\end{aligned}\]
上式 其实就是 Q 二次误差的计算方式
2.
\[\overline{\mathbf{v}}=\left[\begin{array}{cccc}
q_{11} & q_{12} & q_{13} & q_{14} \\
q_{12} & q_{22} & q_{23} & q_{24} \\
q_{13} & q_{23} & q_{33} & q_{34} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right]\]
为什么这样可以得到 两个点之间 二次误差最小的点呢？
我的理解
因为$$v^{T} K_{p} v=Q$$假设Q是0那说明是不是误差最小呢？是的
那么
\[K_{p} v=0 *\left(v^{T}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)\]
若\(K_p\) 正定那么
\[v=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right) *\left(K_{p}\right)^{-1} \]
3.
关于为啥二次误差有用
我的理解
\(v^T * p\) 表示的是一个顶点 带入 面的方程 ax + by + cz + d = Q Q就表示偏差 如果Q等于0那么就表示这个顶点就在面上，不会产生误差
4.
论文的启发点，其实就是利用了 ax + by + cz + d = Q 的性质，然后计算的快些，然后就可以简化发论文了，所以，发论文好难......
结果图片
是不是很有感jio？？？jojo
code
https://github.com/lishaohsuai/digital_geo/tree/master/Surface_Framework_VS2017