一元函数积分学
定积分的概念与性质
定积分的定义
\(设f(x)为[a,b]上\)有界函数\(在[a,b]上任意插入n-1个分点，a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_n=b，记\Delta x_i=x_i-x_{i-1}，\lambda=max{ \Delta x_i }，在每个小区间上任取一点\xi_i，作和式\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i。若不论对[a,b]怎样分割，也不论每个小区间[x_{i-1},x_i]上的\xi_i怎么选取，在\lambda \to 0时和式总存在且趋于同一个值I，就称f(x)在[a,b]上可积，I为f(x)在[a,b]上的定积分\)
PS：对区间进行等分时，\(n \to \infty\)和\(\lambda \to 0\)等价。随意划分条件下前者无法推出后者。
定积分的几何意义
导出一个定积分的计算方法：计算面积代数和
可积的条件
定理
\(如果f(x)在[a,b]上连续，或者在[a,b]上有界且仅有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积\)
\(如果f(x)在[a,b]上可积，[c,d]\subset[a,b]，则f(x)在[a,b]上可积\)
题目
1.狄利克雷函数在[0,1]上不可积。
2.教科书P181 例5.1.4
利用定义计算积分可以指定\(\xi_i\)为左（右）端点
定积分的性质
定理及推论
1.线性性
\(\int_a^b{[k_1f(x)+k_2g(x)]}dx=k_1\int_a^b{f(x)}dx+k_2\int_a^b{g(x)}dx\)
2.依区间可加性
\(\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^c{f(x)}dx+\int_c^b{f(x)}dx\)
3.几何度量性
\(\int_a^b dx=b-a\)
4.保号性
\(如果在[a,b]上f(x) \geq 0，则\int_a^b{f(x)}dx \geq 0\)
5.保序性
\(如果在[a,b]上f(x) \geq g(x)，则\int_a^b{f(x)}dx \geq \int_a^b{g(x)}dx\)
6.积分绝对值不等式
\(|\int_a^b{f(x)}dx| \leq \int_a^b{|f(x)|}dx\)
7.估值定理
\(m(b-a) \leq \int_a^b{f(x)}dx \leq M(b-a)，m，M为最小值和最大值\)
8.积分第一中值定理
\(如果f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点\xi \in [a,b]，使得\int_a^b{f(x)}dx=f(\xi)(b-a)\)
9.积分第二中值定理
\(如果f(x)，g(x)在[a,b]上连续，g(x) \geq 0，则至少存在一点\xi \in [a,b]，使得\int_a^b{f(x)g(x)}dx=f(\xi)\int_a^b{g(x)}dx\)
10.积分正则性1
\(如果f(x)在[a,b]上非负连续，且不恒为0，则\int_a^b{f(x)}dx>0\)
11.积分正则性2
\(如果f(x)在[a,b]上非负连续，\int_a^b{f(x)}dx>0，则f(x)=0\)
题目
1.积分中值定理的证明
2.教科书P184 例5.1.6
3.教科书P184 例5.1.7
4.\(f(x)可导，\underset{x \to +\infty}{lim}f(x)=1，求\underset{x \to \infty}{lim}\int_x^{x+2}tsin \frac{3}{t}f(t) dt=6\)
用积分中值定理把积分运算去掉
5.教科书P186 课后习题6
可以用定义算，也可以洛必达，但不能用积分中值定理
微积分基本定理和牛顿-莱布尼茨公式
微积分基本定理的微分形式
定义，定理及其证明
1.积分上限函数
\(设f(x)在[a,b]上可积，称函数\int_{a}^{x}f(t)dt为积分上限函数，或变上限积分，记为\Phi(x)\)
2.积分变限函数
\(将积分上限函数和复合函数结合起来，可得到一类函数\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt，称为积分变限函数，如\int_{a}^{x^2}f(t)dt\)
3.微积分基本定理的微分形式
（1）
\(设f(x)在[a,b]上可积，则积分上限函数\Phi(x)在[a,b]上连续\)
（2）
\(设f(x)在[a,b]上连续，则\Phi(x)在[a,b]上可导，且\Phi'(x)=f(x)\)
proof：
（1）\(|\Delta \Phi|=\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt \leq M\Delta x\)
（2）积分中值定理
4.推论
\(设f(x)在[a,b]上连续，\phi_1(x),\phi_2(x)在[a,b]上可导，则积分变限函数\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt在[a,b]上可导，且\)
\(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(t)dt=f(\phi_2(x))\phi_2'(x)-f(\phi_1(x))\phi_1'(x)\)
\(特别地，\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt=f(\phi(x))\phi'(x)\)
proof：
积分变限函数求导证明：https://www.cnblogs.com/rrrrraulista/p/12321232.html
题目
1.教科书P189 例5.2.4
（1）左式也可以通过泰勒展开求得
（2）右式泰勒展开后由于f'(x)性质未知无法出解，用求导的方式则正好消去了f'(x)
2.\(设f(x)连续，则\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^x tf(x^2-t^2){\rm d}t = xf(x^2)\)
（1）关键是一定要把x分离到积分号外面，我们这里采用了换元法
（2）另外提醒的是在积分号内部x作为常量看待，即\(\int{\rm d}(u-x^2)=\int{\rm d}u\)，而在积分号外部x和变限积分都看做关于x的函数，即\([x\int_0^x {\rm d}t]' = \int_0^x {\rm d}t + x\)
微积分基本定理的积分形式
定义，定理及其证明
1.原函数
\(对于区间I上（内）的f(x)，如果存在可导函数F(x)满足F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)在区间I上（内）的一个原函数\)
PS：一个函数有无穷个原函数，且F(x)+C为f(x)的所有原函数
2.微积分基本定理的积分形式
\(设f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数，则\)
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)
\(其中F(b)-F(a)常记为F(x)|_a^b\)
PS：注意（2）中要求被积函数连续，后面提到的反常积分也要求被积函数连续，此时不能使用牛莱公式计算。
比如\(\int_{-1}^{1}xsin\frac{1}{x}{\rm d}x\)不是反常积分，不能用牛莱公式计算的原因是其在x=0处不连续，而不是因为它是反常积分
题目
1.教科书P193 例5.2.8
提供了利用定积分定义求某些数列和式极限的方法。
2.\(f(x)=\begin{cases}
3x^2 & 0 \leq x \leq 1 \\
5-2x & 1<x \leq 2
\end{cases}
，F(x)=\int_0^x f(t)dt，0 \leq x \leq 2\)
求F(x)并讨论其连续性
（1）\(\Phi(x)\)是唯一的，原函数是不唯一的，\(\Phi(x)\)是一个原函数
（2）求积分变限函数不等同于求原函数，但是积分变限函数是通过找某一原函数求得的
（3）积分变限函数的求法：
<1>求出f(x)的不带常数的原函数
<2>将积分上限和积分下限代入这个原函数求解
（4）在求\(1<x \leq 2\)的F(x)时，要拆成[0,1)和[1,x]两段
不定积分的概念与性质
不定积分的概念
\(如果f(x)在区间I上（内）有原函数，就称f(x)在区间I上（内）的所有原函数的全体为f(x)在区间I上（内）的不定积分，记为\int f(x)dx，y=F(x)表示一条曲线，称为积分曲线，y=F(x)+C表示一族曲线，称为积分曲线族\)
题目：
1.教科书P195 例5.3.1
实际上是考查不定积分的定义
基本积分积分表
教科书P196 以及 教科书P203
不定积分的性质
PS：
（1）强调要写C，包括运算过程中，但\(x+\int_1^2f(x)dx\)可以不写
题目：
1.教科书P198 例5.3.4
\(tan^2 x=sec^2 x - 1\)
***2.教科书P198 习题5-3及补充习题
（1）常用三角变形公式：切割化弦，倍角半角，积化和差与和差化积
换元积分法
不定积分换元法
第一类换元法定理
\(设函数f(u)在区间D上有一个原函数F(u),u=g(x)在区间I上（内）可导，且有g(x) \subset D，则\int f(g(x))g'(x){\rm d}x = \int f(u){\rm d}u = F(g(x))+C，其中u=g(x)\)
ATT：\(F'(g(x)) \neq [F(g(x))]' = f(g(x))g'(x)，f(x)为F(x)的导函数\)
也就是说，F'(g(x))是把g(x)作为x代入f(x)，而不是g(x)代入F(x)后求导。
题目
1.教科书P200 例5.4.2
2.求\(sec x\)的原函数
https://www.wanmeila.com/question/c90105cfc15906439.html
3.教科书P201 例5.4.6
比较巧合，看看就好
***4.教科书P201 例5.4.5
***5.教科书P201 例5.4.7
任意一次多项式除以二次多项式的不定积分求法
4.数学网络作业21
（1）由于\(ln x\)无原函数，求含\(ln x\)的式子的原函数必用到换元
（2）\(sin x cos x\)可用于换元\(sin^2 x\)，第一类换元的一个效果是将式子转化为有理函数
第二类换元法定理
\(设函数f(x)在区间I上（内）连续，x=g(t)在I的对应区间I_t上（内）单调，并有连续导数（即连续可导），则\int f(x){\rm d}x=\int f(g(t))g'(t){\rm d}t，其中t=g^{-1}(x)\)
题目
1.\(\int \frac{1}{\sqrt x + \sqrt [3]x} {\rm d}x\)
2.\(\int \sqrt {a^2-x^2}(a>0)\)
3.\(\int \frac {{\rm d}x}{(x^2+a^2)^2}(a>0)\)
4.教科书P204 例5.4.10
主要学习此法中分别令\(x=sec t\)和\(x=-sec t\)，都有\(t \in (0,\frac{\pi}{2})\)，可以减少不必要的化简麻烦
若直接令\(t \in (0,\frac{\pi}{2}) 和 (\frac{\pi}{2},\pi)\)，开根号时会多出一个符号，这个符号的消去是在t转化回x的时候
5.教科书P219 T1（5）（6）（8）
某些复合函数，可以通过换元法转化为一般分部积分的形式
定积分换元法
定理
\(设函数f(x)在[a,b]上连续，g(t)为单值函数，且满足\)
\(（1）g(\alpha)=a，g(\beta)=b，当t \in [\alpha,\beta]时，g(t) \in [a,b]\)
\(（2）g(t)有连续导数\)
\(令x=g(t)，则有\int_a^b f(x){\rm d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t){\rm d}t\)
PS：
（1）连续可弱化为可积
（2）替换后上下限对应
（3）不定积分第二类换元法要求g(t)单调可导的原因：其实每个x都有对应的t存在即可，但一个x对应多个t表达式需任选一个造成麻烦，为了方便使x一一对应t，即存在反函数，即要求单调。而定积分不做要求，因为定积分不需代回x，g(t)重复对应x无影响。
另一方面，不定积分和定积分本质很不一样，前者是对应点，后者对应区间，后者g(t)重复对应x不会造成重复计算是因为g'(t)的修正，重复部分恰好抵消了。
题目
1.教科书P205 例5.4.12
\((1-x)^{100}\)转化为\(t^{100}\)扩展性更好
***2.\(\int_0^1 \frac{ln(1+x)}{1+x^2}\)
令\(x=tan t，0 \leq t \leq \frac {\pi}{4}\)；
\(\int_0^{\frac {\pi}{4}}ln(1+tan t)=\int_0^{\frac {\pi}{4}}ln(1+tan (\frac {\pi}{4}-t))\)；
***3.教科书P206 例5.4.15
奇偶函数定积分性质
定理
\(设f(x)为连续函数\)
\(如果f(x)为奇函数，则\int_0^x f(t){\rm d}t为偶函数\)
\(如果f(x)为偶函数，则\int_0^x f(t){\rm d}t为奇函数\)
2.
\(设f(x)在[-a,a](a>0)上为连续函数，则\)
\(\int_{-a}^af(x){\rm d}x = \begin{cases}
0 & f(x)为奇函数\\
\int_0^af(x){\rm d}x & f(x)为偶函数\\
\end{cases}\)
题目
1.\(\int_{-2}^2 xln(1+e^x){\rm d}x\)
令t=-x化简后会有意外发现
2.\(\int_0^\pi xf(sin x){\rm d}x = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sin x){\rm d}x\)
令t=\(\pi\) - x
3.教科书P209 例5.4.19
\(设f(x)，g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)+f(-x)=A（A为常数），则\int_{-a}^a f(x)g(x){\rm d}x = A\int_0^a g(x){\rm d}x\)
令t=-x可以证得
周期函数的定积分性质
定理
\(设f(x)是以T（T>0）为周期的连续函数，则\)
\(（1）对任意的常数a，有\int_a^{a+T}f(x){\rm d}x = \int_0^T f(x){\rm d}x\)
\(（2）对任意的正整数n，有\int_a^{a+nT}f(x){\rm d}x = n\int_0^T f(x){\rm d}x\)
！！：周期函数求导后还是周期函数，但积分后不一定是可导函数
题目
1.教科书P210 例5.4.20
周期函数求导后还是周期函数，但积分后不一定是可导函数，需满足一周期内原来的函数的积分和常数的积分之和为0
分部积分法
不定积分的分部积分法
\(\int \frac{x^2}{(1-x)^{20}}{\rm d}x\)
定积分的分部积分法
几种特殊类型函数的积分
有理函数的积分
方法
1.先看分母是否为一次式*二次式，如果是直接待定系数法+相应分式解法
2.如果不是一般就不会是分部积分法了，考虑凑微分或倒代换
题目
1.\(\int \frac{1}{(1+x^2)^2} {\rm d}x\)
2.\(\int \frac{1}{1+x^4} {\rm d}x\)
凑微分\(x+\frac{1}{x}\)加上待定系数法
3.\(\int \frac{x^2}{3x^3+4} {\rm d}x\)
三角函数有理式的积分
方法
1.基本积分表（6个基本三角函数及其2次方），\(\sqrt{1+sin t}，\sqrt{1+cos t}\)
2.恒等变形
（1）分母化为单项
（2）添项（不含常数的三角函数一次有理式）
（3）\(sin^2x + cos^2x = 1\)
（4）积化和差
3.转化为有理函数
（1）\(cos x \to {\rm d}sin x，2sin xcos x \to {\rm d}sin^2x\)
（2）万能换元法（三角函数一次式的倒数）
题目
1.\(\int\frac{4sin x + 3cos x}{sin x + 2cos x}{\rm d}x\)
2.\(\int \frac{1}{sinxcos^3x}{\rm d}x\)
\(1=sin^2x + cos^2x\)转化为二次式除以四次式，上下同除\(cos^4x\)，换元\(tan x\)
3.\(\int \frac{1}{(sinx+cosx)^2}{\rm d}x\)
底下使用辅助角公式
简单无理根式的积分
方法
1.基本积分表中的形式
根号内一次式，根号内二次式及其倒数+\(\frac{x}{sqrt{1+x^2}}\)
PS：此条为要背的，出现这种形式时要有迅速的意识，但变形时不建议从这个角度入手
2.平方差去除根号
3.观察根号内多项式次数
（1）根号整体次数严格小于1（或有\(e^x\)）时一般令t等于根号整体
（2）根号内为x的二次式时一般采用三角代换
题目
含\(lnx\)或\(e^x\)的函数的积分
含\(lnx\)的函数的积分
目前来看只能将\(lnx\)整体换元或分部积分降次两条路
题目：
1.\(\int \frac{1+lnx}{(xlnx)^3}{\rm d}x，\int \frac{1-lnx}{(x-lnx)^2}{\rm d}x\)
2.\(\int \frac{lnx}{\sqrt{x}}{\rm d}x\)
含\(e^x\)的函数的积分
1.\(\int e^x sinx{\rm d}x\)
2.\(\int \frac{1}{1+e^x}{\rm d}x\)
反常积分
无穷区间上的反常积分
无穷区间上的反常积分定义
\(设函数f(x)在[a,+\infty)上连续，取b>a，称\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x = \underset{b \to +\infty}{lim} \int_a^b f(x){\rm d}x 为f(x)在该区间上的反常积分。\)
若极限值存在且为I，就称该反常积分收敛且值为I，否则称为发散
\(f(x)在(-\infty,b]上的反常积分定义类似\)
\(f(x)在(-\infty,+\infty)上反常积分为\int_{-\infty}^c f(x){\rm d}x + \int_c^{+\infty}f(x){\rm d}x，c为任取的值\)
PS：第三类反常积分的一条性质：其拆开后的两部分都收敛，原来的反常积分才收敛。
第三类反常积分定义为什么一定要引入c？
无穷区间上的反常积分的若干性质
(1)\(当常数p>1时，反常积分\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}收敛于\frac{1}{p-1}\)
(2)\(当常数p \leq 1时，反常积分\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}发散\)
2.线性性
\(若\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x 和 \int_a^{+\infty}g(x){\rm d}x均收敛，k_1,k_2为任意常数，则\int_a^{+\infty} [k_1f(x)+k_2g(x)]{\rm d}x也收敛且等于两者之和\)
3.大收则小收，小散则大散
\(设函数f(x)，g(x)在[a,+\infty)上连续，且0 \leq f(x) \leq g(x)\)
(1)\(如果\int_a^{+\infty} g(x){\rm d}x收敛，则\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x也收敛\)
(2)\(如果\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x发散，则\int_a^{+\infty} g(x){\rm d}x也发散\)
4.\(设f(x)在[a,+\infty)上连续，如果\int_a^{+\infty} |f(x)|{\rm d}x收敛，则\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x也收敛\)
PS:补充定义
\(设f(x)在[a,+\infty)上连，\)
绝对收敛：\(\int_a^{+\infty} |f(x)|{\rm d}x收敛，就称\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x绝对收敛\)
条件收敛：\(\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x收敛，\int_a^{+\infty} |f(x)|{\rm d}x发散，就称\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x条件收敛\)
5.\(若f(x)在R上连续且为奇函数，且\int_{-\infty}^{+\infty} f(x){\rm d}x收敛，则必收敛于0\)
可利用第三类无穷区间上的瑕积分的定义证明（拆开后变换）
无界函数的反常积分
定义
1.\(设函数f(x)在(a,b]上连续，且\underset{x \to a^+}{lim} = \infty，任取\epsilon > 0，使a+\epsilon \in (a,b]，称\int_a^b f(x){\rm d}x = \underset{\epsilon \to 0^+}{lim} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x){\rm d}x为无界函数f(x)在(a,b]上的反常积分\)
2.\(\int_a^b f(x){\rm d}x = \underset{\epsilon \to 0^+}{lim} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x){\rm d}x，b为瑕点\)
3.\(\int_a^b f(x){\rm d}x = \int_a^c f(x){\rm d}x + \int_c^b f(x){\rm d}x，c为瑕点\)
PS：一般地，将综合型反常积分分解为若干个单一型反常积分之和，当且仅当每个单一型反常积分都收敛时，对应的综合型反常积分收敛。
无界函数的反常积分的若干性质
（1）\(当常数q<1时，反常积分\int_0^1 \frac{1}{x^q}{\rm d}x收敛于\frac{1}{1-q}\)
（2）\(当常数q \geq 1时，反常积分\int_0^1 \frac{1}{x^q}{\rm d}x发散\)
2.
\(若\int_a^b f(x){\rm d}x 和 \int_a^b g(x){\rm d}x均收敛，k_1,k_2为任意常数，则\int_a^b [k_1f(x)+k_2g(x)]{\rm d}x也收敛且等于两者之和\)
3.
3.大收则小收，小散则大散
\(设函数f(x)，g(x)在(a,b]上连续，\underset{x \to a^+}{lim} f(x)=\underset{x \to a^+}{lim} g(x)=\infty，且0 \leq f(x) \leq g(x)\)
(1)\(如果\int_a^b g(x){\rm d}x收敛，则\int_a^b f(x){\rm d}x也收敛\)
(2)\(如果\int_a^b f(x){\rm d}x发散，则\int_a^b g(x){\rm d}x也发散\)
4.\(设f(x)在(a,b]上连续，\underset{x \to a^+}{lim} f(x)=\infty，如果\int_a^b |f(x)|{\rm d}x收敛，则\int_a^b f(x){\rm d}x也收敛\)
5.
\(\int_a^b f(x){\rm d}x = F(x)|^b_{a^+} = F(b) - F(a^+)\)
ATT：注意小正号！
题目
1.\(\int_0^{+\infty}\frac{sin x}{1+x^2} {\rm d}x敛散性\)
放缩为\(\frac{1}{1+x^2}，利用比较原则解题\)
2.教科书P237 例5.7.6
简便方法：
只针对多项式函数，\(ln x\)可看做小于一次，\(e^x\)可看做大于一次
<1>先看区间，看清是无界函数还是无穷区间
<2>无界函数逼近速度大于等于1次发散，无穷函数逼近速度小于等于1次发散
3.\(计算\int_0^a \frac{{\rm d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
不要忘记广义牛莱公式的负号