莫比乌斯反演学习笔记

其实这些东西早在9月就学了，然而那时理解还不是很清楚。今天上课正式讲到，就来把这个坑填上，主要是复习不熟悉的东西了。

首先先明确几个数论函数：

欧拉函数(φ)：φ(n)表示1~n中与n互质的数的个数

莫比乌斯函数(μ)：μ(1)=1，若n(n＞1)含有多重质因数，则μ(n)=0，否则 μ(n)=(-1)^r，r表示n的质因数个数

常函数(1)：∀n∈N，1(n)=1

单位函数(id)：∀n∈N，id(n)=n

幂函数(idk)：∀n∈N，idk(n)=n^k

狄利克雷卷积单位函数(ε)：ε(1)=1，∀n>1，ε(n)=0

元函数(e)：这是一个由命题映射到N的特殊函数，e[P]=1当且仅当P为真，否则e[P]=0

除数函数(σ)：一类函数，每个非负整数x都对应一个除数函数σ_x，σ_x(n)表示 n的因数的x次方之和

还有一个定义：

狄利克雷卷积函数：(fxg)(n) = sigma(d|n)f(d)g(n/d)。

这些是基本的前置技能了，如果不明白，请反复阅读直到理解为止。

然后我们有4个关于以上函数的结论：

φ x 1 = id，证明：若n为质数，则id。其他情况用积性函数证明。

μ x id = φ，这个以后能够证明。

μ x 1 = ε，证明：考虑每个质数选几个，用二项式定理确定系数，带进去后发现和为0。

ε × 1 = 1，证明：每个数为1的因数只有1，显然。

注意这里的x都表示求狄利克雷卷积。

通过以上的结论(μ x 1 = 1，ε × 1 = 1)，我们猜想对于一般的积性函数(f(x)，g(x))，是否存在：f × 1 = g↔μ × g = f

这个是正确的，证明如下：

考虑从左到右：

考虑从右到左：

至此莫比乌斯反演基本定理得证。

根据以上的证明我们可以总结出一些小技巧：

四个卷积结论：φ×1=id、μ×id=φ、μ×1=ε、ε×1=1（需要注意的是，更多的时候是从右到左的应用）
分块的前提结论：∀n,d∈N，n/d向下取整至多有√n种取值
gcd与lcm相关：gcd(a,b)*a*b=lcm(a,b)，d|gcd(a,b)→d|a且d|b
交换求和号的方法技巧，以及常见的求和号交换法
对于多次询问的题目，预处理积性函数的值与前缀和

具体的用法还得在题目中说明。

当然了，如果面对多次询问φ(n)与μ(n)的值与前缀和可以预处理出来，而N/d向下取整M/d向下取整分别最多有和种取值，所以说我们只用枚举这两部分的取值，中间整块的部分用前缀和相减即得积性函数的和。

时间复杂度：O(min(N,M)+T(+))，其中T表示数据组数。

代码实现：

1 int t = min(n, m), ans = 0;
2 for (int i = 1, j = 1; i <= t; i = j + 1) {
3     j = min(n / ( n / i), m / (m / i));
4     ans += (summu[j] - summu[i - 1]) * (n / i) * (m / j);
5 }

然后就是具体的题目了，不想多写了，插入公式实在太费劲了QAQ。(留坑以后再说！)

说白了就是本蒟蒻太弱了不会用LaTeX，被迫用Word2016做了半天公式后心态爆炸了……

莫比乌斯反演学习笔记

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