Weierstrass定理表明，在闭区间上的连续函数都可以用多项式函数以任意精度近似。多项式函数是最简单的函数，这使得Weierstrass定理兼具理论和实用上的重要性。
主要内容来自PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS，7.26.
Theorem 设\(f\)是闭区间\([a,b]\)上的连续复函数。对任意正实数\(\varepsilon\)，存在多项式\(P\)使得
\[|f(x)-P(x)|<\varepsilon,\;\;\;\;\;\; x\in [a,b]
\]
Proof 不失一般性，不妨令\([a,b]=[0,1]\)。为了方便，令\(f\)在闭区间之外恒等于\(0\)。不仅如此，我们还可以假设\(f(0)=f(1)=0\)。因为任意一个函数\(f\)减去一个经过\((0,f(0)),(1,f(1))\)两点的线性函数\(l\)，都可以得到端点为\(0\)的函数\(g\)。如果\(P\)是对\(g\)的很好近似，\(P+l\)就是对\(f\)的很好近似。
为了避免困惑，先简要说明一下证明思路。我们希望用以下形式的多项式近似\(f\)：
\[P_n(x)=\int_{-1}^{1} f(x+t)Q_n(t)dt
\]
其中\(Q\)是一个多项式，它与x轴、\(x=-1\)、\(x=1\)围成的图形面积为1。直观的理解是，等式右侧对\(f\)在\(x\)的周围做了加权平均，\(Q\)在\(0\)附近的值越大，\(P(x)\)就越接近\(f(x)\)。后面会证明\(P\)确实是个多项式。
我们定义
\[Q_n(x)=c_n(1-x^2)^n, \;\;\;\;\;\;(n=1,2,3,\dots),
\]
对每个\(n\)精心选择\(c_n\)，使得
\[\int_{-1}^{1}Q_n(x)dx=1.
\]
下面需要得到\(Q\)的一些有用性质。首先利用不等式
\[(1+x)^n\geq1+nx\;\;\;\;\;\;(x\in[-1,1],\; n=1,2,3,\dots)
\]
估计一下\(Q\)的大小。
因为
\[\begin{align}
\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx &= 2\int_{0}^{1}(1-x^2)^ndx \notag\\
&\geq 2\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt n}}(1-nx^2)dx \notag \\
&= \frac{4}{3\sqrt n} \notag \\
&> \frac{1}{\sqrt n} \notag， \\
\end{align}
\]
所以
\[c_n\le\sqrt n
\]
\[Q_n(x)\le \sqrt n(1-x^2)^n
\]
接下来就该证明定理了。
固定正实数\(\varepsilon\)。对任意\(0<\delta<1\)，存在\(N>0\)使任意\(n>N\)满足
\[Q_n(x)\leq\sqrt n(1-\delta^2)^n<\varepsilon \;\;\;\;\;\;(\delta\leq|x|\leq1),
\]
这直接来自
\[\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{a^n}=0\;\;\;\;\;\;(|a|>1).
\]
由于\(f\)在闭区间上连续，存在\(M\)使\(|f(x)|\leq M.\)
定义
\[P_n(x)=\int_{-1}^{1} f(x+t)Q_n(t)dt,
\]
做一个简单换元：
\[P_n(x)=\int_{-1+x}^{1+x} f(t)Q_n(t-x)dt,
\]
由定义，\(f\)在\([0,1]\)外恒等于\(0\)，\(Q_n\)是偶函数，所以
\[P_n(x)=\int_{-1}^{1} f(t)Q_n(x-t)dt,
\]
这显然是多项式。
由于\(f\)连续，可以选择一个足够小的\(\delta\)，使得当\(|x-t|<\delta\)，\(|f(x)-f(t)|<\varepsilon.\)
当\(n>N,\)
\[\begin{align}
|P_n(x)-f(x)|&=\left |\int_{-1}^{1} f(x+t)Q_n(t)dt-f(x) \right |\notag\\
&=\left |\int_{-1}^{1} \left [ f(x+t)-f(x) \right ] Q_n(t)dt\right | \notag\\
&\leq\left |\int_{-1}^{-\delta} \left [ f(x+t)-f(x) \right ] Q_n(t)dt\right |+\left |\int_{-\delta}^{\delta} \left [ f(x+t)-f(x) \right ] Q_n(t)dt\right |\notag\\&\;\;\;\;\;\;+\left |\int_{\delta}^{1} \left [ f(x+t)-f(x) \right ] Q_n(t)dt\right | \notag\\
&\leq 2M\varepsilon+\varepsilon+2M\varepsilon\notag\\
&=(4M+1)\varepsilon\notag\\
\notag\\
\end{align}
\]
\(\varepsilon\)可以取任意值，这就证明了the Weierstrass Theorem.