圆锥曲线小结

最近遇到一点与圆锥曲线有关的东西，感觉自己什么都不会，水平连两千年前的古希腊人都不如...高中睡过去的数学课只能现在来补了QAQ
希望看到这里的高中同学不要重蹈覆辙，上数学课的时候不要睡觉...

定义：平面上有一条直线\(l\)（准线）和一个点\(F\)（焦点），直线到点的距离为\(d\)。有一个大于\(0\)的常数\(e\)（离心率）。圆锥曲线是所有满足以下条件的点的集合：
设该点到直线\(l\)的距离为\(D_l\)，到点\(F\)的距离为\(D_F\)，则\(\frac{D_F}{D_l}=e\)。

当\(0<e<1\)，该曲线被称为椭圆
当\(e=1\)，该曲线被称为抛物线
当\(e>1\)，该曲线被称为双曲线

所有二次曲线都可以被归类为圆、椭圆、抛物线、双曲线和一些退化情形。

以焦点为极点的极坐标形式 把\(F\)放在极点上，把\(l\)放在极点左侧，令其与极轴垂直。\(D_l=d+r\cos\theta\)，\(D_F=r\)，所以

\[e=\frac{D_F}{D_l}=\frac{r}{d+r\cos\theta} \]

\[\therefore r=\frac{ed}{1-e\cos\theta} \]

直角坐标形式 还是把\(F\)放在原点上，把\(l\)放在原点左侧，使之与\(x\)轴垂直，则\(D_F=\sqrt{x^x+y^2}\)，\(D_l=x+d\)，所以

\[e(x+d)=\sqrt{x^2+y^2} \]

两边平方，

\[e^2(x+d)^2=x^2+y^2 \]

整理得到

\[(1-e^2)x^2-2e^2dx+y^2=e^2d^2 \]

假设\(e\neq 1\)（不是抛物线），两侧除以\(1-e^2\)，

\[x^2-2\frac{e^2d}{1-e^2}x+\frac{1}{1-e^2}y^2=\frac{e^2d^2}{1-e^2} \]

对\(x\)配平方，

\[(x-\frac{e^2d}{1-e^2})^2+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{e^2d^2}{(1-e^2)^2} \]

用\(x+\frac{e^2d}{1-e^2}\)代替\(x\)（相当于把坐标系向右平移\(\frac{e^2d}{1-e^2}\)），等式变为

\[x^2+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{e^2d^2}{(1-e^2)^2} \]

即

\[\frac{x^2}{\frac{e^2d^2}{(1-e^2)^2}}+\frac{y^2}{\frac{e^2d^2}{1-e^2}}=1 \]

令\(A=\frac{e^2d^2}{(1-e^2)^2}\)，\(B=\frac{e^2d^2}{1-e^2}\)，则

\[\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1 \]

根据刚刚得到的结果，在适当的坐标系下，椭圆和双曲线有形如\(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\)的统一形式。定义\(C=(\frac{e^2d}{1-e^2})^2\)。这是一些值得注意的细节：

准线\(l\)与\(x\)轴垂直，焦点\(F\)在二者交点右侧距离\(d\)处，坐标系原点被放置在距焦点\(\sqrt{C}\)处
曲线关于原点中心对称，关于\(x,y\)轴对称（由于关于\(y\)轴对称，它实际上可以有两套准线和焦点）
当\(0<e<1\)，即曲线为椭圆时，\(B>0\)，原点位于焦点右侧
当\(e>1\)，即曲线为双曲线时，\(B<0\)，原点位于焦点左侧
\(A,C\)一定为正值
\(C=A-B\)

在给定直角坐标系下的方程，已知\(A,B\)的情况下，同样可以计算出\(d,e\)：

\[e=\sqrt{1-\frac{B}{A}},\;\;\;\;d=\frac{|B|}{\sqrt{A-B}}=\frac{|B|}{\sqrt{C}} \]

这样，在定义（给出\(d,e\)）、极坐标形式（给出焦点处\(r,\theta\)的关系）、直角坐标形式（给出以对称中心为原点，两个对称轴为坐标轴的\(x,y\)关系）这三种形式之间就可以自由转换。

习惯上，定义\(a=\sqrt{A}=|\frac{ed}{1-e^2}|\)，\(b=\sqrt{|B|}=\frac{ed}{\sqrt{|1-e^2|}}\)，\(c=\sqrt{C}=|\frac{e^2d}{1-e^2}|\)，然后就得出高中课本里的公式了：

椭圆方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
椭圆半焦距\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，离心率\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)，焦点与准线的距离\(d=\frac{b^2}{c}\)
双曲线方程：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
双曲线半焦距\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)，离心率\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)，焦点与准线的距离\(d=\frac{b^2}{c}\)

椭圆和双曲线的方程从相同的形式分化成了略微不同的形式，原因就在于定义\(a,b,c\)时引入的绝对值符号。

接下来证明两个分别属于椭圆和双曲线的有时被用作定义的重要性质。在证明中使用关于焦点的极坐标系，同时利用了从直角坐标方程中推出的对称性。

定理：记椭圆的两个焦点为\(F,F'\)，对椭圆上任意一点\(P\)，\(|PF|+|PF'|=2a\)。

如图，记准线与极轴的交点为\(L\)，将关于\(P\)对称的点标记为\(P'\)，令\(|PF|=r_1,|PF'|=r_2,|P'F|=r_1',|P'F'|=r_2'\)。将\(r_1\)与极轴的夹角记为\(\theta\)。
由图可以直观地看出，\(P'\)到准线的距离等于\(|LF'|\)减去\(P'F'\)在\(x\)轴的投影，即

\[P'\text{到准线的距离}=|LF'|-r_1'\cos\angle P'F'F \]

\[=|LF|+|FF'|-r_1\cos \theta=d+2c-r_1\cos\theta \]

由圆锥曲线的定义，\(r_2'=e(P'\text{到准线的距离})=ed+2ec-r_1e\cos\theta\)

\[\therefore r_1+r_2=r_1+r_2'=ed+2ec+r_1(1-e\cos\theta) \]

由圆锥曲线的极坐标方程，最后一项等于\(ed\)。

\[\therefore r_1+r_2=2e(d+c)=2e(d+\frac{e^2d}{1-e^2})=2\cdot \frac{ed}{1-e^2}=2a \]

定理：记双曲线的两个焦点为\(F,F'\)，对双曲线上任意一点\(P\)，\(\Big | |PF|-|PF'|\Big |=2a\)。
~~留作习题~~

圆锥曲线小结

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