群

群的定义

\((i):\forall a \in G,\exists a^{-1},a \cdot a^{-1}=e\)

\((ii)\)封闭性,可逆性，结合性

群的判定定理：
\(\forall a,b\in G,\exists x,y,ax=b \quad and \quad ya=b\){证明这个的话，我们只需取a,a的话,我们就可以先把单位元确定了，然后利用性质自然逆元就得到了}
性质：
在群里消去律是成立的

半群的定义：
半群只要求满足结合律(幺半群有单位元)

设G是一个群，H是G的一个非空子集,如果H关于G的运算也构成群，则称H为G的一个子群 ,记为\(H<G\)

交换群

\(\forall a,b \in G,ab=ba\)

子群

定义和例子

一个简单的方法来拆分任何带有一系列公理的数学结构的方法，来研究同样带有公理的数学结构。我们开始这个工程来研究群的子群。
第二个拆分数学结构的方法就是来研究它的商结构，商群的概念，这是一个方式来拆分一个群变成更小的群(我们将在下一个章节学习)

子群的定义

G为群，G的子集H是G的子群，如果H是非空的，H在积和逆运算下是封闭的。如果H是G的子群，我们记做\(H < G\)

例子

\((ii)\)每一群G其实都有两个平凡的子群\(H=G,H=\{1\}\)

推论

(子群的标准:)\(H\)是\(G\)的子群，当且仅当：

\((i)H \neq \varnothing\)

\((ii) \forall x,y \in H,xy^{-1} \in H\)

如果H是有限的，我们需要确定H的封闭性

证明：

首先指出这个证明是双向的，然后我们考虑，其实对于一个a来说，就有\(x^{-1}x=e\)的事实，我们这样就能得到\(e\)这个很重要的元素在\(H\)中，然后对于每个\(a\)来说，\(ea^{-1}\)同样也在里面，我们就可以确认每个元素的逆元也在里面，显然群的性质就已经确认了(这个推论确实简化了子群的判别，子群的判别说到底是涉及了两个集合，\(G,H\)，推论从\(H\)里面出发，然后确定\(G\)与\(H\)的关系)

陪集和正规子群

陪集：
\(H<G\)
\(a H=\{a h | \forall h \in H\}\)

正规子群：
\(\forall a \in G \quad a H=H a\)
则我们记作\(H \triangleleft G\)

关于正规子群的等价性命题：
$$\forall a \in G,aHa^{-1}=H$$
$$\forall a \in G,aHa^{-1}\subseteq H$$
$$\forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H$$

商群

商群的概念结合了陪集与正规子群
\(如果 H \triangleleft G \quad ,\)
\(G/H\)称为商群

群同态与同构

群同态

\(f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)， f(g_{1}\cdot g_{2})=f(g_{1})\triangle f(g_{2}))\)
f为单射 \(\rightarrow\)单同态
f为满射 \(\rightarrow\)满同态
f为双射 \(\rightarrow\)同构

单位元具有唯一性:
\(f\left(e_{1}\right)=f\left(e_{1}^{2}\right)=f\left(e_{1}\right) \Delta f\left(e_{1}\right)=\left[f\left(e_{1}\right)\right]^{2}\)

群同构基本定理

f :G\(\rightarrow H\)
(G,\(\cdot\))\(\rightarrow(H,\triangle)\)
\(\frac{G}{Kerf}\cong Imf\)
\(\left\{Kerf=g|f(g)=e_{H}\right\} \quad and \quad Imf=\left\{f(g)|g \in G \right\}\)}
从单射开始说起，
令gKerf=\(\bar{g}\)

第二同构定理：\(H\big/(H \cap K) \cong HK\big/K\)

群同构第三定理

\(G \big/ H \cong (G\big/K)\bigg/(H\big/K)\)

循环群分类定理

Cayley定理

任何一个群都同构于一个对称群的子群

Lagrange定理

\(H<G\)
G为有限群的情况，H的阶整除G的阶
素数阶的群一定是循环群?

群的作用

G为一个群,\(G \neq \varnothing\)

\(\varphi:G \times S \rightarrow S\)

\((i):g_1 g_{2}(s)=g_1(g_2(s))\)

\((ii):e(s)=s ,\forall s \in S\)

我们引入轨道的概念：\(O_{x}=\{gx|g\in G\}\)

我们来证明：$\forall x,y,O_x=O_y $或者不相等(即不可能会出现相交的情况)

\(O_x \cap O_y \neq \varnothing\)

任取\(z \in O_x \cap O_y\),存在\(g_1,g_2 \in G\),使得\(gx=z=gy\)

\(y=g_2^{-1}g_1x \in O_x\)(这里我们要注意一些概念：\(O_{x}=\{gx|\forall g\in G\}\))由此得到：\(O_y \subset O_x,同理可证O_x \subset O_y \rightarrow O_x =O_y\)

由于\(O_{x}=\{gx|\forall g\in G\}\)

这里我们注意一个事实，尽管\(\rho\)是一个双射，但是群的阶数与集合的阶数不相等。

这是需要我们格外注意的地方：因为我们经常认为群作用了的话，本身就应该与映射出来的集合是一样的，即：\(|g(x)|=X\),而不是\(|G|=|X|\)

我们来看个例子，首先我们必须明白一点群的作用只是个抽象的作用，并不是群真实的作用在集合上，这只是一个称呼。

我们定义\(\varphi:g(x)=gxg^{-1},\forall g \in G\)

我们有这样的事实：

\((i)e(x)=exe^{-1}\)

\((ii)g_1(g_2(x))=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1g_2x(g_1g_2)^{-1}\)

我们很容易提出问题：\(|G|?=|O_x|？=|G \times X|\)

？？我们注意一件事情，如果G为交换群，则\(g(s)=g_1g_2(s)=g_2(g_1(s))\)

我们首先要注意事实：\(|G|\)和\(|O_x|\)在大多时候的阶数是不一样的

我们先来看看轨道稳定子定理：

我们定义稳定子：\(S_x=\{gx=x\}\)

那么有这样的事实：\(\rho: O_x \rightarrow G \big/S_x\)

\(gx \rightarrow gS_x\)

那么我们\(O_x\)到\(G \big/ S_x\)的一一映射

这个是很有意思的事情，一般不容易发现，这样我们就定义\(|G|\)与\(|O_x|\)的关系

我们先来证明轨道稳定子定理：

\((i)\rho 为单射：\rho(g_1 x)=\rho(g_2x)\rightarrow g_1S_x=g_2S_x,g_1^{-1}g_2S_x=S_x\)

\(g_1^{-1}g_2 \in S_x,g_1^{-1}g_2x=x\)

我们得到了很重要的结论：\(|G|=|S_x||O_x|\)

我们来看看一个群作用：

多项式：\(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1\)的对称变换的群

\(X=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\),G作用在X上，\(\tau=(1,2,3,4)\)

！！我们要注意这个事实，我们每次的群作用都是利用在X里面去一个元素来完成，所以我们如果要来衡量\(|X|\)的阶数，

\(|X|=\sum_{i=1}^{t}[G:S_{x_i}]\),其中\(x_i\)取遍不同轨道的代表元素

我们注意一个很有意思的现象，因为群本身的定义是集合，然后有规定的运算，我们可以定义群作用于群本身的集合，

\(G \times G \rightarrow G\),我们这里不采用抽象的定义，即映射的方式：\(g_1(g_2) \rightarrow g\),这里我们采用共轭作用，群\(G\)作用在自身

\(x \in G,O_x=\{gxg^{-1}|g \in G\},S_x=\{g \in G|gxg^{-1}=x\}\)

我们通常把\(O_x\)称为x所在的共轭类，\(S_x\)称为中心化子

所以我们得到了一个重要的定理：

\(|G|=\sum_{x}|G:C(x)|\)，我们对这个等式进行整理，把x为中心元素的共轭类的代表元都弄出来，

\(|G:C(x)|=1\)(x为中心元素的共轭类)

\(G\)为有限群，\(|G|=|C(G)|+\sum_{x}|G:C(x)|\)

(x为取遍非中心元素的共轭类的代表元)

推论：Cauchy定理：如果\(G\)为一个有限群，\(|G|=n\),对于n每一个素因子p，\(G\)都有阶为p的元素

Sylow定理

环

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环的定义

\((i)(\mathbb{R},+)\)构成一个交换群
\((ii)(R,\cdot)\)满足结合律
\((iii)(R,+,\cdot)\)满足分配律
若环K中没有零因子，则消去律成立

交换环

若\(ab=ba,\forall a,b \in R\)交换环
子环
\((R,+,\cdot)\)是一个环,S为R的一个非空子集，S关于R的运算成环，则称S为R的子环
\((R,+,\cdot)\)是一个环,S为R的一个非空子集，则S为R的子环的充分必要条件：
(i)(S,+)为(R,+)的加法子群
(ii)\(\forall a,b \in S\rightarrow ab \in S\)

域,除环,体

零因子:
\(a \neq 0,\exists b \neq 0,使得ab =0\)
这里我们注意，零因子的概念重要性从反面而言，是很显然的，在日常生活中的常用的代数结构，\(\mathbb{R}\)，除开零元来看的话，都是没有零因子这种代数结构的
这里注意零因子与零元不是一个概念(我们日常使用的代数系统都是无零因子环很多，满足环的消去律)

无零因子环

无零因子环:我们把没有零因子，有单位元e的环称为无零因子环
{整环}
一个没有零因子，有单位元e的交换环R称作整环
高斯整环:\(Z[i]\)
\((R,+,\cdot)\)满足结合律，则称为域
\noindent 四元数体(Hamilton quaternion field)=\(\left\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in R\right\}\)
除环}
R有单位元\(e \neq 0\)的环，在环中非零元都可逆
域}
F为一个有单位元的交换环，如果每个非零元都可逆，则称为域

\(Q \sqrt[3]{2}\)

环同态

设\(R_{1},R_{2}\)为两个环，

若f满足：
(i)\(f(r_{1}+r_{2})=f(r_{1})+f(r_{2})\)
(ii)\(f(r_{1}r_{2})=f(r_{1})f(r_{2})\)

理想

R为环，I为R的非空子集，如果I满足：
\((i)\forall r_{1},r_{2}\in I,r_{1}-r_{2}\in I\)
\((\forall r \in R,\forall i \in I),ri \in I\)称为左理想\(ir \in T\)称为右理想
根理想：设I为交换环R的一个理想，定义集合：

\(Rad(I)=\{r \in R|存在整数n，使得r^{n}\in I\}\)

证明\(Rad(I)是R\)的理想

(这里我们要注意理想的概念)

考察\(r_1,r_2\)

若\(r_{1}^n \in I,r_2^m \in I\)

考虑\((r_1-r_2)^{m+n}\)

这里我们主要考虑\(\sum_{k=1}^{m+n}r_1^kr^{m+n-k}\)

根据理想的性质，\(r_1和r_2根据次方总有一个满足其中一个属于理想\)

不妨设\(r^k \in I\),根据\(sI \subset I\),显然\((r_1-r_2)^{m+n} \in I\)

商环

环R,理想I,在(R,+)的商集\(R \bigg/ I = \{r+I|r \in R \}\)上

主理想

R为环, \(\forall a \in R,\),则(a)=由a生成的理想，称为主理想
这个概念比较麻烦，我们康康一个例子，

设R为有单位元的交换环，则主理想：\((a)={ra|r \in R}\)
(i)首先证明(a)为R的一个子环，
\(\forall \alpha,\beta \in (a), \rightarrow \alpha =r_{\alpha}a,\beta= r_{\beta}a\)
我们利用子环的判定定理
易知\(\alpha - \beta =(r_{\alpha}-r_{\beta})a \in (a)\)
\(\alpha \beta =r_{\alpha}r_{\beta}aa \in (a)\)(\(r_{\alpha}r_{\beta} \sim r\))
(ii)我们还要考虑一些事情：(a)本身为理想，
\(\forall \bar{r} \in R, \bar{r}(a)= \lbrace \bar{r}ra \rbrace\)
$\bar{r}(a) \subset (a) $

极大理想与素理想

极大理想

R为交换环，M为R的真理想,对R的任一包含M的理想N \(\rightarrow N=M \quad Or \quad N=R\)

素理想

R为交换环,P为R的真理想,如果\(\forall a,b\in R\),由 \(ab\in P \rightarrow a \in P \quad Or \quad b \in P\)

R为一个有单位元的交换环,则R的每个极大理想都是素理想

主理想环

环的每一个理想都是主理想

除环，域都是主理想

主理想整环

多项式整环

(f{R}(x),+,\(\times\))
\ \(P_{1}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\)

域

域的扩张

\(K \subset \mathbb{F}\),为两个域，称\(\mathbb{F}\)为K的扩域

代数元，超越元

代数元
设\(\mathbb{F}\)是一个域,称\(\alpha\)为代数数，若存在一个多项式f(x)\(\in \mathbb{F}[x] ,s.t. f(\alpha)=0\)

极小多项式

\(\mathbb{F}\)为域,

极小多项式不可约

习题

群
\(A\)为交换群，然后固定\(n \in \mathbb{Z}\)我们证明下面的集合是A的子群：
\((a)\{a^n|a \in A\}\)
\((b)\{a \in A |a^n =1\}\)
证明\(:(1)a^{n}b^{-n}=(ab^{-1})^{n}\)(利用交换群性质，把\(a,b\)弄得更加紧凑),然后根据群的性质,\(ab^{-1} \in A\),\((ab^{-1})^{n} \subset A\)
\((2)\) \((a b)^{m n}=\underbrace{(a b)(a b) \cdots(a b)}_{m n \text { times }}=a^{m n} b^{m n}\),利用交换群性质，把\(a,b\)弄得更加紧凑，由于\(a^n=e,b^m=e,a^{mn}={a^n}^{m}=e,b^{mn}={b^m}^{n}=e\)
证明正规子群的等价性命题:
$$\forall a \in G,aHa^{-1}=H$$
$$\forall a \in G,aHa^{-1}\subseteq H$$
$$\forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H$$

我们从这里证明正规子群，
\(ah=aha^{-1}a=(aha^{-1})a \subset Ha\)
\(\forall a \in G ,a^{-1}h(a^{-1})^{-1} \in H ,\rightarrow ha \in aH,Ha \subset aH \)}

f:\(G \rightarrow H\)群同态
则$ Kerf \triangleleft G$

{\(\forall gkg^{-1} \in g Kerf g^{-1} \\ f(gkg^{-1})=f(g)f(k)f(g^{-1}) \\ =f(g)e_{H}[f(g)]^{-1}=e_{H} \\ gkg^{-1} \in Kerf(gKerfg^{-1}\subset Kerf)\)}

证明群同态基本定理f :G\(\rightarrow H\)
\((G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)\)
\(\frac{G}{Kerf}\cong Imf\)

{Kerf显然是正规子群,}

设$C(G)= { a \in G|\forall g \in G,ag=ga } $,是群G的中心，证明：如果G/C(G)是循环群，则G是Abel群

简要证明Sylow定理(1,2,3)

设 G 的阶为 168, G 中有多少个阶为 7 元素

环

在\(\mathbb{Z}_{2}[x]\)中多项式\(x^3+x^2+1\)是不可约的，并利用这一结论构造一个有8个元的有限域