群的作用

G为一个群,$G \neq \varnothing$

$\varphi:G \times S \rightarrow S$

$(i):g_1 g_{2}(s)=g_1(g_2(s))$

$(ii):e(s)=s ,\forall s \in S$

我们引入轨道的概念：$O_{x}=\{gx|g\in G\}$

我们来证明：$\forall x,y,O_x=O_y $或者不相等(即不可能会出现相交的情况)

$O_x \cap O_y \neq \varnothing$

任取$z \in O_x \cap O_y$,存在$g_1,g_2 \in G$,使得$gx=z=gy$

$y=g_2^{-1}g_1x \in O_x$(这里我们要注意一些概念：$O_{x}=\{gx|\forall g\in G\}$)由此得到：$O_y \subset O_x,同理可证O_x \subset O_y \rightarrow O_x =O_y$

由于$O_{x}=\{gx|\forall g\in G\}$

这里我们注意一个事实，尽管$\rho$是一个双射，但是群的阶数与集合的阶数不相等。

这是需要我们格外注意的地方：因为我们经常认为群作用了的话，本身就应该与映射出来的集合是一样的，即：$|g(x)|=X$,而不是$|G|=|X|$

我们来看个例子，首先我们必须明白一点群的作用只是个抽象的作用，并不是群真实的作用在集合上，这只是一个称呼。

我们定义$\varphi:g(x)=gxg^{-1},\forall g \in G$

我们有这样的事实：

$(i)e(x)=exe^{-1}$

$(ii)g_1(g_2(x))=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1g_2x(g_1g_2)^{-1}$

我们很容易提出问题：$|G|?=|O_x|？=|G \times X|$

？？我们注意一件事情，如果G为交换群，则$g(s)=g_1g_2(s)=g_2(g_1(s))$

我们首先要注意事实：$|G|$和$|O_x|$在大多时候的阶数是不一样的

我们先来看看轨道稳定子定理：

我们定义稳定子：$S_x=\{gx=x\}$

那么有这样的事实：$\rho: O_x \rightarrow G \big/S_x$

$gx \rightarrow gS_x$

那么我们$O_x$到$G \big/ S_x$的一一映射

这个是很有意思的事情，一般不容易发现，这样我们就定义$|G|$与$|O_x|$的关系

我们先来证明轨道稳定子定理：

$(i)\rho 为单射：\rho(g_1 x)=\rho(g_2x)\rightarrow g_1S_x=g_2S_x,g_1^{-1}g_2S_x=S_x$

$g_1^{-1}g_2 \in S_x,g_1^{-1}g_2x=x$

我们得到了很重要的结论：$|G|=|S_x||O_x|$

我们来看看一个群作用：

多项式：$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1$的对称变换的群

$X=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$,G作用在X上，$\tau=(1,2,3,4)$

！！我们要注意这个事实，我们每次的群作用都是利用在X里面去一个元素来完成，所以我们如果要来衡量$|X|$的阶数，

$|X|=\sum_{i=1}^{t}[G:S_{x_i}]$,其中$x_i$取遍不同轨道的代表元素

我们注意一个很有意思的现象，因为群本身的定义是集合，然后有规定的运算，我们可以定义群作用于群本身的集合，

$G \times G \rightarrow G$,我们这里不采用抽象的定义，即映射的方式：$g_1(g_2) \rightarrow g$,这里我们采用共轭作用，群$G$作用在自身

$x \in G,O_x=\{gxg^{-1}|g \in G\},S_x=\{g \in G|gxg^{-1}=x\}$

我们通常把$O_x$称为x所在的共轭类，$S_x$称为中心化子

所以我们得到了一个重要的定理：

$|G|=\sum_{x}|G:C(x)|$，我们对这个等式进行整理，把x为中心元素的共轭类的代表元都弄出来，

$|G:C(x)|=1$(x为中心元素的共轭类)

$G$为有限群，$|G|=|C(G)|+\sum_{x}|G:C(x)|$

(x为取遍非中心元素的共轭类的代表元)

推论：Cauchy定理：如果$G$为一个有限群，$|G|=n$,对于n每一个素因子p，$G$都有阶为p的元素