1.方向导数定义
设开集\(D \subset \mathbf{R}^{n}, f : D \rightarrow \mathbf{R},\overrightarrow{u}\)是一个方向，如果极限\(\displaystyle\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t u\right)-f\left(x_{0}\right)}{t}\)存在，那么这个\(\boldsymbol{极限}\)称为函数\(\boldsymbol{f}\)沿方向\(\overrightarrow{u}\)的方向导数，记作\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\)
2.Notice and comments
2.1与一维导数不同
比较值得注意的是此处与一元导数的定义完全不同的一点是，按照这个定义，\(f(x)\)的方向导数在考察相反方向时，方向导数正负号相反。
\[\displaystyle\frac{f\left(x_{0}+t(-u)\right)-f\left(x_{0}\right)}{t}=-\frac{f\left(x_{0}+(-t) u\right)-f\left(x_{0}\right)}{-t} \]这里对比一维情况失去了一种对称性（即相反方向的方向导数相同），这是由于对于一维的情况，两点的”距离“可以简单的用一个有正负的数字表示，但是对于高纬度，两个点的距离没有正负的概念（当然可以强行定义，根据他们之间差向量的分量有多少正多少负来定义），这样，定义方向导数时，分母的正负是没有办法确定正负的。所以失去的对称性可以认为是高维时难以用正负表示两个点的方向关系。
2.2二元代换
在考察二元函数时，比较普遍的一种方法是，借助三角代换\(u=(\cos \theta, \sin \theta)\)
3。偏导数和偏微分算子
仍使用上个subsection的空间，考察这个空间的一组标准基：
\[\begin{aligned} \boldsymbol{e}_{1} &=(1,0,0, \cdots, 0) \\ \boldsymbol{e}_{2} &=(0,1,0, \cdots, 0) \\ & \cdots \cdots \\ \boldsymbol{e}_{n} &=(0,0, \cdots, 0,1) \end{aligned} \]则\(f\)在\(x_0\)处沿\(e_{i}\)的方向导数称为，\(f\)在\(x_0\)处的第i个偏导数，简记为：
\[\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right) \quad or \quad D_{i} f\left(x_{0}\right) \]并称\(D_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\)为第i个偏微分算子\
在偏导数这里我们发现，偏导数由于没有规定和考虑反向，是一个确定的值。
4.偏导数的几何意义
我们考虑一个简单的情况，即空间为二维情况。
用\(y=y_0\)去截\(z=f(x,y)\),也就是曲线\[\displaystyle\left\{\begin{array}{l} {z=f(x, y)} \\ {y=y_{0}}\end{array}\right.\]偏导数\(\frac{\partial}{\partial x} f\left(x_{0}, y_{0}\right)\)自然就是这个曲线在\(x_0\)处的导数
4.1consideration
一个容易提出的考虑是，如果我们用\(z_0\)去截取\(z=f(x,y)\)，怎么去计算得到曲线在对应点的斜率呢？即\(\frac{\partial y}{\partial x}\)
这个问题留到以后考虑
consideration
偏导的提出不仅仅是为了几何意义这么简单，如果一个函数比较好的话，他应该能有一个高维的切面，这使得他的导数可以很简单的写成偏导数的和。