数学期望的性质
若有定义在\(\Omega\)上的离散型随机变量X，它的取值只有一个数c，那么显然\(p(X=c)=1\)。它的期望就为\(E(X)=c*p(X=c)=c\)。
若又有一个在\(\Omega\)上的随机变量Y，\(X=s\)时，均有\(Y=cs\)，说明Y的基本事件与X的基本事件相同：\(E(Y)=\sum y_ip(Y=y_i)=\sum cx_ip(X-x_i)=cE(X)\)。
若\(X=x_i,Y=y_j\)时，\(Z=z_{ij}=x_i+y_j\)，说明Z中的基本事件，是X中的基本事件和Y中的基本事件组合在一起的。举个例子：抛硬币，正面为1反面为0，走1或0步，期望步数为0.5。掷骰子，走骰子点数，期望步数为3.5。那么既抛硬币又掷骰子，走的期望步数就为0.5+3.5=4：
\(E(Z)=\sum z_ip(Z=z_i)=\sum_i \sum_j(x_i+y_j)p(X=x_i\&Y=y_i)\)
\(=\sum_i \sum_jx_i p(X=x_i\&Y=y_j)+\sum_i \sum _jy_jp(X=x_i\&Y=y_j)\)
\(=\sum_i x_i \sum_jp(X=x_i\&Y=y_j)+\sum_jy_j\sum_ip(X=x_i\&Y=y_i)\)
\(=\sum_i x_ip(X=x_i)+\sum_jy_jp(Y=y_j)=E(X)+E(Y)\)
现在可以来考虑二项分布的期望。回忆之前的内容，二项分布意思是说进行n次独立重复的伯努利试验，随机变量的取值表示成功的次数，这时概率\(p(X=k)=(^n_k)p^kq^{n-k}\)，因此叫它二项分布。每一次伯努利试验的\(E(X)=p\)，因此n次试验成功的期望次数为\(E(X)=E(X_1+X_2+...+X_n)=np\)。
类比条件概率，还有条件期望：
\(E(X|Y=y_0)=\sum x_ip(X=x_i|Y=y_0)\)。因此，如果每个X的基本事件和每个Y的基本事件都相互独立，那么\(E(X|Y=y_0)=E(X)\)。
如果两个随机变量独立，那它们的期望满足可乘性。设随机变量Z，满足\(z_{ij}=x_iy_j\)，那么：
\(E(Z)=\sum z_ip(Z=z_i)=\sum_i\sum_Jx_iy_jp(X=x_i\&Y=y_i)\)
\(=\sum_i\sum_jx_iy_jp(X=x_i)p(Y=y_j)\)
\(=(\sum_ix_ip(X=x_i))(\sum_jy_jp(Y=y_j))=E(X)E(Y)\)
把前面那个硬币和骰子的例子稍微改一改，抛到正面\(ATK*=2\)，抛到反面\(ATK*=1\)，骰子的点数表示ATK乘的倍数，那么抛硬币的期望是\(ATK*=1.5\)，掷骰子的期望是\(ATK*=3.5\)，既投硬币又掷骰子的期望则是\(ATK*=1.5*3.5=5.25\)。
类比全概率公式，还有全期望公式：
\(E(E(X|Y))=\sum_j E(X|Y=y_j)p(Y=y_j)\)（这一步看不懂的，可以参考一下期望的定义）
\(=\sum_jp(Y=y_j)\sum_ix_ip(X=x_i|Y=y_i)\)（这一步没懂）
\(=\sum_jp(Y=y_j)\sum_ix_i\frac{p(X=x_i \& Y=y_j)}{p(Y=y_j)}\)
\(=\sum_j\sum_ix_ip(X=x_i\&Y=y_j)=\sum_ix_i\sum_jp(X=x_i\&Y=y_i))\)
\(=E(X)\)