如何理解似然函数?

作者：Yeung Evan
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在英语语境里，likelihood 和 probability 的日常使用是可以互换的，都表示对机会 (chance) 的同义替代。但在数学中，probability 这一指代是有严格的定义的，即符合柯尔莫果洛夫公理 (Kolmogorov axioms) 的一种数学对象（换句话说，不是所有的可以用0到1之间的数所表示的对象都能称为概率），而 likelihood (function) 这一概念是由Fisher提出，他采用这个词，也是为了凸显他所要表述的数学对象既和 probability 有千丝万缕的联系，但又不完全一样的这一感觉。中文把它们一个翻译为概率一个翻译为似然也是独具匠心。

先看似然函数的定义，它是给定联合样本值 $\bm{x}$ 下关于(未知)参数 $\theta$

的函数：

$L(\theta | \bm{x}) = f(\bm{x} | \theta)$

这里的小 $\bm{x}$ 是指联合样本随机变量 $\bm{X}$ 取到的值，即 $\bm{X} = \bm{x}$ ；

这里的 $\theta$ 是指未知参数，它属于参数空间；

这里的 $f(\bm{x}|\theta)$ 是一个密度函数，特别地，它表示(给定) $\theta$ 下关于联合样本值 $\bm{x}$

的联合密度函数。

所以从定义上，似然函数和密度函数是完全不同的两个数学对象，前者是关于 $\theta$ 的函数，后者是关于 $\bm{x}$ 的函数。所以这里的等号 $=$

理解为函数值形式的相等，而不是两个函数本身是同一函数(根据函数相等的定义，函数相等当且仅当定义域相等并且对应关系相等)。

说完两者的区别，再说两者的联系。

（1）如果 $\bm{X}$ 是离散的随机向量，那么其概率密度函数 $f(\bm{x} | \theta)$ 可改写为 $f(\bm{x} | \theta) = \mathbb{P}_\theta(\bm{X} = \bm{x})$ ，即代表了在参数 $\theta$ 下随机向量 $\bm{X}$ 取到值 $\bm{x}$

的可能性；并且，如果我们发现

$L(\theta_1 | \bm{x} ) = \mathbb{P}_{\theta_1}(\bm{X} = \bm{x}) > \mathbb{P}_{\theta_2}(\bm{X} = \bm{x}) = L(\theta_2 | \bm{x})$

那么似然函数就反应出这样一个朴素推测：在参数 $\theta_1$ 下随机向量 $\bm{X}$ 取到值 $\bm{x}$ 的可能性大于 在参数 $\theta_2$ 下随机向量 $\bm{X}$ 取到值 $\bm{x}$ 的可能性。换句话说，我们更有理由相信(相对于 $\theta_2$ 来说) $\theta_1$

更有可能是真实值。

（2）如果 $\bm{X}$ 是连续的随机向量，那么其密度函数 $f(\bm{x} | \theta)$ 本身（如果在 $\bm{x}$ 连续的话）在 $\bm{x}$ 处的概率为0，为了方便考虑一维情况：给定一个充分小 $\epsilon > 0$ ，那么随机变量 $X$ 取值在 $(x - \epsilon, x + \epsilon)$

区间内的概率即为

$\mathbb{P}_\theta(x - \epsilon < X < x + \epsilon) = \int_{x - \epsilon}^{x + \epsilon} f(x | \theta) dx \approx 2 \epsilon f(x | \theta) = 2 \epsilon L(\theta | x)$

并且两个未知参数的情况下做比就能约掉 $2\epsilon$ ，所以和离散情况下的理解一致，只是此时似然所表达的那种可能性和概率 $f(x|\theta) = 0$

无关。

综上，概率(密度)表达给定 $\theta$ 下样本随机向量 $\bm{X} = \bm{x}$ 的可能性，而似然表达了给定样本 $\bm{X} = \bm{x}$ 下参数 $\theta_1$ (相对于另外的参数 $\theta_2$

)为真实值的可能性。我们总是对随机变量的取值谈概率，而在非贝叶斯统计的角度下，参数是一个实数而非随机变量，所以我们一般不谈一个参数的概率。

最后我们再回到 $L(\theta | \bm{x}) = f(\bm{x} | \theta)$ 这个表达。首先我们严格记号，竖线 $|$ 表示条件概率或者条件分布，分号 $;$ 表示把参数隔开。所以这个式子的严格书写方式是

$L(\theta | \bm{x}) = f(\bm{x} ; \theta)$

因为 $\theta$ 在右端只当作参数理解。

如何理解似然函数?

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