设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵，则 \(A\) 可以分解为 \(A=Q \Lambda Q^T\)，其中
\(Q=[q_1,q_2,...,q_n]\) ， \(q_i\)为 \(A\) 的特征向量且 \(QQ^T=I\) ，
\(\Lambda=diag[\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n]\) ，\(\lambda_i\)为 \(A\) 的特征值。
令 \(P=Q^T\)，\(y=Px\) ，
则对于二次型 \(x^{T}Ax\) ，有 \(x^{T}Ax=x^{T} Q \Lambda Q^T x = x^{T} P^{T} \Lambda P x =y^T \Lambda y\) 。
可以看到，通过线性变换 \(y=Px\)，二次型被转化成了标准型（不含交叉项的二次型）。
关于该线性变换，有三点值得说明。
\(1.\)
由于线性变换 \(y=Px\) 是正交变换，且 \(x^{T}Ax=y^T \Lambda y\)，因此原二次型经过旋转和反射就可以得到标准型。
因此对任何一个二次型，都存在对应的标准型，使得二者的“形状”完全相同。
\(2.\)
在变换 \(y=Px\) 中，若 \(x\) 为 \(A\) 的单位特征向量 \(q_i\)，则 \(y=Px=Q^{T}q_i= \begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ \vdots \\ q_n^T \\ \end{bmatrix} q_i=e_i \)
可见 \(A\) 的单位特征向量都被变换成了自然基向量。
\(3.\)
线性变换 \(y=Px\) 也可以看作是坐标变换。
设自然坐标系为 C0，以 \(A\) 的单位特征向量为基向量的坐标系为 C1，对任意 \(n\) 维向量，令其在 C0 下的坐标为 \(x\) ，在 C1 下的坐标为 \(y\)，则有 \(Ix=Qy\) 。
由于 \(Q^{-1}=Q^{T}=P\)，因此 \(y=Px\) ，可见变换 \(y=Px\) 表示了一个从 C0 到 C1 的坐标变换，且在坐标系 C1 下，二次型是不含交叉项的，如下图所示：
