以下证明，来自华东师范大学数学分析第三版，但是证明最后，闭区间套定理的应用，做了改动，书中使用了某个闭区间套的引理，我改成了直接证明，不用任何引理
\(数列的柯西收敛准则证明-华东师大构造数列闭区间套证明法\)
\(华东师范大学数分教材用的是构造数列，构成闭区间套证明法。\)
\(中科大数分教材是用收敛子列法（写在其他笔记里面）\)
\(这里是华东师范大学的数列构造法\)
\(【数列的柯西收敛准则】\)
\(数列an收敛的充要条件是,若∀ϵ>0,∃N,∀m,n>N，数列an收敛的充要条件是,若∀ϵ>0,∃N,∀m,n>N，\)
\(有|an−am|<ϵ有|an−am|<ϵ\)
\(【说明】其含义是，数列an随着n趋于无穷，各项彼此越靠越近，越往后越近，任给一个任意小的整数，【说明】其含义是，数列an随着n趋于\)\(无穷，各项彼此越靠越近，越往后越近，任给一个任意小的整数，\)
\(都能从某项之后，任意两项之间的距离，或者说差的绝对值，都小于这个给定的任意小的数。都能从某项之后，任意两项之间的距离，或者说\)\(差的绝对值，都小于这个给定的任意小的数。\)
\(也就是，从某项之后，即使距离最大的两项，其距离差，都小于给定的任意小的数\)
\(【证明】\)
\(根据题设，\forall\epsilon>0,\exists N,当m,n>N时，有|a_{m}-a_{n}|<\epsilon\leqslant\epsilon\)
\(取\epsilon=\frac{1}{2},则\exists N_{1},当n>N_{1}时,有|a_{n}-a_{N_{1}}|\leqslant\frac{1}{2}\)
\(则，在区间[a_{N_{1}}-\frac{1}{2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2}]内，有无穷多项{a_{n}}\)
\(记[a_{N_{1}}-\frac{1}{2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2}]=[\alpha{1},\beta_{1}]\)
\(取\epsilon=\frac{1}{2^2},则\exists N_{2}',当n>N_{2}'时，有|a_{n}-a_{N_{2}'}|\leqslant\frac{1}{2^2}\)
\(设N_{2}=MAX\{N_{2}',(N_{1}+1)\}\)
\(则在区间[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]内，有无穷多项{a_{n}}\quad\quad(2)\)
\(记[{\alpha_{2},\beta_{2}}]=[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]\cap[a_{N_{1}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2^2}]\)
\(因为N_{2}>N_{1}，所以a_{N_{2}}\in[a_{N_{1}}-\frac{1}{2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2}]\)
\(故,[{\alpha_{2},\beta_{2}}]\neq\emptyset\)
\(因为[\alpha1,\beta1]\backslash[\alpha2,\beta2]中的元素在[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]之外，所以\)
\(所以只有有限项，\)
\(又因为[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]\backslash[\alpha2,\beta2]中的元素在[a_{N_{1}}-\frac{1}{2},a_{N_{1}}+\frac{1}{2}]之外，所以只有有限项\)
\(故[\alpha2,\beta2]内有无限项{a_(n)}\)
\(且有\quad [\alpha1,\beta1]\supset[\alpha2,\beta2]\)
\(因为[\alpha2,\beta2]\subset[a_{N_{2}}-\frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+\frac{1}{2^2}]\)
\(由(2)式可知\beta2-\alpha2\leqslant\frac{1}{2}\)
\(继续令\epsilon=\frac{1}{2^3},\cdot\cdot,\frac{1}{2^n},\cdot\cdot\)
\(得到一系列闭区间{[\alpha_{n},\beta_{n}}\)
\(满足:[\alpha_{n},\beta_{n}]\subset[\alpha{n+1},\beta_{n+1}]\)
\(\alpha_{n}-\beta_{n}\leqslant\frac{1}{2^(n-1)}\)
\(0\leqslant\alpha_{n}-\beta_{n}\leqslant\frac{1}{2^(n-1)}\)
\(由迫敛定理，可得lim_{n\to\infty}(\beta_{n}-\alpha_{n})=0\)
\(lim_{n\to\infty}\)
\(即,[\alpha_{n},\beta_{n}]是闭区间套\)
\(则，存在唯一一个数\xi\in[\alpha_{n},\beta_{n}](n=1,2,3..)\)
\(下面证明\xi是{a_{n}}极限\)
\(因为[\alpha_{n},\beta{n}]里{a_{n}}的无穷多项，均有|a_{n}-\xi|\leqslant\frac{1}{2^(n-1)}\)
\(故，若使|a_{n}-\xi|<\epsilon\)
\(只需\frac{1}{2^(n-1)}<\epsilon\)
\(即\quad n>\frac{ln\frac{2}{\epsilon}}{ln2}即可\)
证毕