《Natural Image Stitching with the Global Similarity Prior》论文笔记 (三)
@(sinbad)[360sinbad@gmail.com]
重新推导下网格相似性变换，基于论文Implementing As-Rigid-As-Possible Shape Manipulation and Surface Flattening和原文代码实现。
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局部相似性约束
网格相似性变换的目标是找到顶点坐标使得变换后边的向量畸变最小，换种说法更直接，找到变换后的顶点坐标使得经过局部相似性变换后与原有对应有向网格边缘向量对齐，
即求解如下方程的最小二乘解。一种间接优化方法是引入旋转矩阵
映射边缘顶点
为原始形状顶点坐标，
为变形后顶点坐标，转换成最小二乘问题。
其中，
定义为线性形式，
于是该问题可以看作线性优化问题求解。论文中采集边缘周围7个顶点作为上下文推导局部变换
，
相邻关系见下图
(3)、(4)联合推导如下：
这是一个标准最小二乘问题，解法如下：
上式说明
是局部相邻顶点的线性组合，代入公式（2）
式子内累加变形为
最终表示形式为
AZ=0
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全局相似性约束
全局相似性约束式中累加项推导
因为
是局部变量，
是全局性不变量，所以
在不等式组求解时不能自动抵消。
最终表示形式为
AZ=b