高等数学 - 常用结论

整理一些常用的表格，可供查阅，可供练习。

麦克劳林展开式

• \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+...,x\in (-1,1)\)
• \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...+(-1)^nx^n+...,x\in (-1,1)\)
• \(\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...,x\in R\)
• \(\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+...,x\in R\)
• \(\displaystyle\cos x=\sin' x=1-\frac{x^2}{2!}+...+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+...,x\in R\)
• \(\displaystyle\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+...,x\in R\)

以及这些形式的简单复合。

重要极限

• \(\displaystyle\lim\limits_{x\to \infin}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\)

  证明：
  先取整数，
  \(x_n=(1+\frac{1}{n})^n=\text{C}_n^01^n(\frac{1}{n})^0+\text{C}_n^11^{n-1}(\frac{1}{n})^1+...+\text{C}_n^n 1^0(\frac{1}{n})^n\)
  \(x_{n+1}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}=\text{C}_{n+1}^01^{n+1}(\frac{1}{n})^0+\text{C}_{n+1}^1 1^{n}(\frac{1}{n})^1+...+\text{C}_{n+1}^{n+1} 1^0(\frac{1}{n})^{n+1}\)
  即
  \(x_n=1+\frac{n}{1!}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}+...+\frac{n(n-1)...(n-n+1)}{n!}\cdot \frac{1}{n^n}\)
  \(=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(...)(1-\frac{n-1}{n})\)
  类似可得
  \(x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})(...)(1-\frac{n-1}{n+1})+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})(...)(1-\frac{n}{n+1})\)
  比较可得 \(x_n<x_{n+1}\) 。
  同时，对于 \(x_n\) ，有 \(x_n\le 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}\le 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}<3\) 。即 \(x_n\) 有上界。
  综合得 \(x_n\) 当 \(n\to +\infin\) 时有极限。
  再证实数，
  设 \(n<x<n+1\) ，由幂函数和指数函数的单调性可知
  \((1+\frac{1}{n+1})^{n}<x<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)
  容易证得左式和右式的极限均为 \(e\) ，故由夹逼准则有 \(\lim\limits_{x\to +\infin}(1+\frac{1}{x})^x=e\) 。
  当 \(x\to -\infin\) 时，取 \(t=-x\) ，有 \((1+\frac{1}{x})^x=(1-\frac{1}{t})^{-t}=(\frac{t-1}{t})^{-t}=(\frac{t}{t-1})^t=(1+\frac{1}{t-1})^t\) 。也即有 \(\lim\limits_{x\to -\infin}(1+\frac{1}{x})^x=\lim\limits_{t\to +\infin}(1+\frac{1}{t-1})^t=e\) 。
  综合以上，有 \(\lim\limits_{x\to \infin}(1+\frac{1}{x})^{x}=e\) 。

• \(\displaystyle\lim\limits_{x\to \infin}(1-\frac{1}{x})^x=\frac{1}{e}\)

• \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

• \(\lim\limits_{x\to 0}(x\ln x)=0\)

  解：\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to 0}-x=0\) 。

积分

• \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^n x\text{d}x,\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^n x\text{d}x\) （注意积分限）

  分析：记 \(u(n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^n x\text{d}x\) ，则 \(u(n)=[-\cos x\sin^{n-1} x]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x)\text{d}x=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin^{n-2}x-\sin^{n}x)\text{d}x=(n-1)(u(n-2)-u(n))\) 。即有 \(u(n)=\frac{n-1}{n}u(n-2)\) 。
  同理记 \(v(n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^n x\text{d}x\) ，也有 \(v(n)=\frac{n-1}{n}v(n-2)\) 。
  而 \(u(0)=v(0)=\frac{\pi}{2}\) ，\(u(1)=v(1)=1\) ，也即有
  \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\text{dx}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\text{d}x=\begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ...\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n为正偶数\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ... \cdot \frac{2}{3}\cdot 1, & n 为正奇数 \end{cases}\)

微分方程

• \(y''+py'+qy=0\) 的解。

  若有两个不等实根 \(r_1,r_2\) ，则为 \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\) 。
  若有两个相等实根 \(r\) ，则为 \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\) 。
  若有两个共轭复根 \(a+bi,a-bi\) ，则为 \(y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)\) 。