概率论 - 正态分布

正态分布具有一些有用的性质。

正态分布和标准正态分布的转换

若随机变量 \(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\backsim N(0,1)\)

由\(X\backsim N(\mu,\sigma^2)\)，得 \(P(X\leq x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)

而 \(P(Z\leq x)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq x)=P(X\leq x\sigma+\mu)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x\sigma + \mu-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)

记 \(F(x)=P(X\leq x)\)，\(H(x)=P(Z\leq x)\)，

则有

\(H(x)=F(x\sigma+\mu)\)

两边关于 \(x\) 取导，有：

\(h(x)=\sigma f(x\sigma+\mu)\)

\(=\sigma (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{x^2}{2}}dx)'\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)

\(=\varphi(x)\)

得证。

若一个随机变量符合正态分布，那么它的标准化变量服从标准正态分布。

内容源见引用。^[1]

\(n\) 维正态随机变量 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 的每一个分量 \(X_i\) 都是正态随机变量；反之，若 \(X_1,X_2,...,X_n\) 都是正态随机变量，且相互独立，则 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 是 \(n\) 维正态随机变量。
\(n\) 维随机变量 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服从 \(n\) 维正态分布的充要条件是 \(X_1,X_2,...,X_n\) 的任意线性组合 \(l_1X_1+l_2X_2+...+l_nX_n\) 服从一维正态分布（其中 \(l_1,l_2,...,l_n\) 不全为零）。
若 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服从 \(n\) 维正态分布，设 \((Y_1,Y_2,...,Y_k)\) 是 \(X_j\) 的线性函数，则 \((Y_1,Y_2,...,Y_k)\) 也服从多维正态分布。（正态变量的线性变换不变性）
设 \((X_1,X_2,...,X_n)\) 服从 \(n\) 维正态分布，则 \(X_1,X_2,...,X_n\) 相互独立与 \(X_1,X_2,...,X_n\) 两两不相关等价。

举例：

设 \(X_1,X_2\) 为来自 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的简单随机样本，则
- 对 \(Y=X_1+X_2\) ，有 \(E(Y)=2\mu\) ，\(D(Y)=2\sigma^2\) 。
  
  证：\(E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)\)，\(D(X_1+X_2)=D(X_1)+D(X_2)\) 。
- 对 \(Y=X_1-X_2\) ，有 \(E(Y)=0\) ，\(D(Y)=2\sigma^2\) 。
  
  证：\(E(X_1-X_2)=E(X_1)+E(-X_2)=0\)，\(D(X_1-X_2)=D(X_1)+D(-X_2)=2\sigma^2\) 。
（2019考研数学一）设 \(X,Y\) 相互独立，且都服从正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) ，则 \(P\{|X-Y|<1\}\) ：与 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 是否有关？

解：\(Z=X-Y\) ，\(E(Z)=0,D(Z)=2\sigma^2\) ，由正态分布的线性组合仍服从正态分布，故 \(Z\sim N(0,2\sigma^2)\) ，即 \(\frac{Z-0}{\sqrt{2}\sigma}\sim N(0,1)\) ，而 \(P\{|Z|<1\}=P\{-1<Z<1\}=P\{\frac{-1}{\sqrt{2}\sigma}<\frac{Z}{\sqrt{2}\sigma}<\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\}=2\Phi(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma})-1\) ，即仅仅与 \(\sigma^2\) 有关。