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利息率（force of interest）的定义式为：
\[\delta(t) = {A'(t) \over A(t)}
\]
反映了时刻 \(t\) 现金流的即时变化情况。
故障率（hazard rate）的定义式为：
\[\lambda(t) = {f(t) \over S(t)} = -{S'(t) \over S(t)}
\]
反映了时刻 \(t\) 事件的发生率。
\(A(t)\) 与时间和初始量有关，要想反映时刻 \(t\) 现金流的瞬时变化情况并使之具有可比性，应该排除时间和初始量的影响。
\[\begin{align}
\delta(t) & = {A'(t) \over A(t)}\\[2ex]
& = {{\lim \limits_{\Delta t \to 0} {A(t+ \Delta t) - A(t) \over \Delta t}} \over A(t)}
\end{align}
\]
可以看到分子中的导数剔除了时间的影响，再除以 \(A(t)\) 则剔除了初始量的影响。因为 \(S(t)\) 是关于 \(t\) 的减函数，其导数是一个负值，所以需要在之前加一个负号调整符号。
这两者定义式上的相似，决定了与之相关的推导和运算过程也具有一定的相似性。
通过\(\delta(t)\)求\(A(t)\)
\[\begin{array}{rcl}
\delta(t) & = & {A'(t) \over A(t)} \\[2ex]
\delta(t) & = & {\mathrm{d} \over \mathrm{d}t} \log A(t)\\[2ex]
\delta(t) \mathrm{d}t & = & \mathrm{d} \log A(t)\\[2ex]
\int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \mathrm{d}t & = & \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d} \log A(t)\\[2ex]
\log A(t) |_{t_1}^{t_2} & = & \int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \mathrm{d}t\\[2ex]
A(t_2) & = & A(t_1) \exp \left(\int_{t_1}^{t_2} \delta(t) \mathrm{d}t \right)
\end{array}
\]
相似地，通过\(\lambda(t)\)求\(S(t)\)时有
\[\begin{array}{rcl}
\lambda(t) & = & -{S'(t) \over S(t)} \\[2ex]
\lambda(t) & = & -{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t} \log S(t)\\[2ex]
\lambda(t) \mathrm{d}t & = & -\mathrm{d} \log S(t)\\[2ex]
\int_{t_1}^{t_2} \lambda(t) \mathrm{d}t & = & -\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d} \log S(t)\\[2ex]
\log S(t) |_{t_1}^{t_2} & = & -\int_{t_1}^{t_2} \lambda(t) \mathrm{d}t\\[2ex]
S(t_2) & = & S(t_1) \exp \left(-\int_{t_1}^{t_2} \lambda(t) \mathrm{d}t \right)
\end{array}
\]
而在寿险精算中故障率又被称为死力（force of mortality），用\(\mu\)表示。如果将\(S(t_2) = S(t_1) \exp \left(-\int_{t_1}^{t_2} \lambda(t) \mathrm{d}t \right)\)中的式子都用精算符号（actuarial notation）来表示，就可以得到下面这个非常重要的式子
\[S_x(t) = \exp \left(-\int_{y = x}^{x+t} \mu_y \mathrm{d}y \right) = \exp \left(-\int_{s = 0}^t \mu_{x+s} \mathrm{d}s \right)
\]