参考资料：
网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html 麻省理工公开课：线性代数
教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition by Gilbert Strang
链接：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg
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一、背景知识
（1）假设存在$m\times n$矩阵$A$，其中$m<n$（未知量数的个数多于方程数）
则，$A\mathbf{x}=0$有无穷多个解 //因为至少存在$n-m$个自由变量，所以零空间不仅包含零向量，还包含其他非零特解向量
二、线性无关/独立（Independence）
（1）定义：向量$\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n$是线性无关的，仅当
$$c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=0$$
的解只有所有的$c_i$为零，不存在其他使上式为零的线性组合。否则，为线性相关。
（2）等价表达1：以各个向量为列的矩阵$[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n]$的零空间仅包含零向量。否则，为线性相关。
等价表达2：以各个向量为列的矩阵$[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n]$的秩$r=n$（无自由变量） //$r<n$则线性相关
注：零向量与任何向量都是线性相关的。
三、向量生成空间（span a space）
（1）定义：向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_l$生成一个空间，意味着该生成空间由$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_l$的所有线性组合构成。 //如矩阵的各列生成列空间
四、向量空间的基（basis） //向量的个数不多不少，刚刚好
（1）定义：空间的基指的是一个向量组$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_d$，该向量组具有两种基本性质
- 该向量组是线性无关的
- 该向量组可以生成整个空间
（2）空间的基不唯一 //如任意$n\times n$可逆矩阵都是空间$R^n$的基
（3）空间的任意基包含的基向量个数是相等的 //如空间$R^n$的基向量个数为$n$
（4）空间的维数（dimension）：空间基向量的个数
（5）矩阵的秩$rank(A)$定义
- 主列的个数
- 列空间的维数$dim(A)$（线性无关列的个数） //列空间的基为任意$r$个线性无关的向量
（6）零空间$N(A)$的维数：自由变量的数目=$n-r$