参考文章 ，ei & qwaszx tsdy！
感觉 "参考文章" 中有些地方的描述有点奇怪或证明相对麻烦，于是就有了这篇 blog
广义二项级数
定义广义二项级数如下：
\[\mathcal{B}_t(z) = \sum\limits_{n \ge 0} \binom{tn + 1}{n} \frac{z^n}{tn + 1}
\]
结论
\[\mathcal{B}_t(z) = z\mathcal{B}_t(z)^t+1 \qquad(1)
\]
\[\mathcal{B}_t(z)^r = \sum\limits_{n \ge 0} \binom{tn + r}{n} \frac{r}{tn + r} z^n \qquad(2)
\]
\[\frac{\mathcal{B}_t(z)^r}{1 - t + t \mathcal{B}_t(z)^{-1}} = \sum\limits_{n \ge 0} \binom{tn + r}{n} z^n \qquad(3)
\]
证明
证明 (1)
设函数 \(F(z), G(z)\)， \(F(z) = z (F(z) + 1)^t\)，\(G(z)\) 为 \(F(z)\) 的复合逆。
那么 \(F(G(z)) = G(z) (F(G(z)) + 1)^{t}\)，\(z = G(z) (z+1)^{t}\)，\(G(z) = \frac{z}{(z+1)^t}\)。
根据拉格朗日反演得到：
\[[z^n] F(z) = \frac{1}{n} [z^{n - 1}] (\frac{z}{G(z)})^{n} = \frac{1}{n} [z^{n-1}] (z+1)^{nt} = \binom{nt}{n - 1}
\]
\[F(z) + 1 = 1 + \sum\limits_{n \ge 1} \frac{z^n}{n} \binom{nt}{n - 1} = \sum\limits_{n \ge 0} \binom{nt+1}{n} \frac{z^n}{nt+1} = \mathcal{B}_t(z)
\]
然后就证明了 \(\mathcal{B}_t(z) = \mathcal{B}_t(z)^t + 1\)。
（你会发现这东西就是 LuoguP2767，套个 Lucas 就可以过掉那题了）
证明 (2)
\(n = 0\) 时正确性是显然的，现在考虑 \(n > 0\)。
设函数 \(F(z), G(z)\)， \(F(z) = z (F(z) + 1)^t\)，\(G(z)\) 为 \(F(z)\) 的复合逆。
设 \(H(z) = (z + 1)^r\)，那么拓展拉格朗日反演得
\[[z^n]\mathcal{B}_t(z)^r = [z^n] H(F(z)) = \frac{1}{n} [z^{n-1}] H(z)' (\frac{z}{G(z)})^{n} = \frac{1}{n} [z^{n-1}] (z+1)^{r-1} (z+1)^{nt} = \frac{\binom{nt+r-1}{n - 1}}{n} = \frac{\binom{nt+r}{n}}{nt+r}
\]
证明 (3)
仍然设函数 \(F(z), G(z)\)， \(F(z) = z (F(z) + 1)^t\)，\(G(z)\) 为 \(F(z)\) 的复合逆。
设 \(H(z) = \frac{(1 + z)^r}{1 - t + t (z + 1)^{-1}}\)。这里用 EI 鸽鸽发明的另类拉格朗日反演会更方便。
\[[z^n] \frac{\mathcal{B}_t(z)^r}{1 - t + t \mathcal{B}_t(z)^{-1}} = [z^n] H(F(z)) = [z^n] H(z) (\frac{z}{G(z)})^{-n-1} G'(z)
\]
\[[z^n] \frac{(1 + z)^{r+1}}{1 + z - t z} (1+z)^{(n+1)t} \frac{1 + z - tz}{(1+z)^{t+1}}
\]
\[[z^n] (1 + z)^{r+nt}
\]
\[\binom{nt+r}{n}
\]
广义指数级数
定义广义指数级数如下：
\[\mathcal{E}_t(z) = \sum\limits_{n \ge 0} (tn+1)^{n-1} \frac{z^n}{n!}
\]
鸽了！！！！！1