极限是解决问题的一种重要的思想
定义:
设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a,对于任意正数ε (不论其多么小),都 ,使不等式
在
上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn} 收敛于a。记作
或
如果上述的定义不成立,则这个数列一定是发散的
性质
1、唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性:如果一个数列’收敛‘(有极限),那么这个数列一定有界。但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛。例如数列 :“1,-1,1,-1,……,(-1)n+1”
3、保号性:若
(或<0),则对任何
(a<0时则是
),存在N>0,使n>N时有
(相应的xn<m)。
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![](https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D64/sign=279589d2af4bd11300cdb4365baf5dc0/6a63f6246b600c336844b369184c510fd9f9a156.jpg)
![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D64/sign=3c7cc6be050828386c0ddf10b999b1c5/30adcbef76094b36b7ac764ca1cc7cd98d109d50.jpg)
![](https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D47/sign=320f4149be3eb13540c7b6bca71e1cc8/b21bb051f8198618847f822548ed2e738bd4e653.jpg)
4、保不等式性:设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ,使得当n>N时有
,则
(若条件换为xn>yn ,结论不变)。
![](https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D50/sign=6b03f8c0f1deb48fff69a1def11f383b/ac4bd11373f08202cc56f39e49fbfbedaa641b4e.jpg)
![](https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D132/sign=40c2255e0f24ab18e416e53407fbe69a/b151f8198618367ac810bfa528738bd4b31ce529.jpg)
5、和实数运算的相容性:譬如:如果两个数列{xn} ,{yn} 都收敛,那么数列
也收敛,而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
![](https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D59/sign=6ebcff17cb177f3e1434fc0471cf6ebf/267f9e2f07082838a044b1b5ba99a9014d08f1c2.jpg)
6、与子列的关系:数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限;数列
收敛的充要条件是:数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
![](https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D27/sign=5e1006f7d2160924d825a51cd5074c30/472309f7905298229ae35862d5ca7bcb0b46d4bb.jpg)
单调收敛定理
单调有界数列必收敛。
柯西收敛原理
设{xn} 是一个数列,如果对任意ε>0,存在N∈Z*,只要 n 满足 n > N,则对于任意正整数p,都有 ,这样的数列
![](https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D27/sign=5e1006f7d2160924d825a51cd5074c30/472309f7905298229ae35862d5ca7bcb0b46d4bb.jpg)
便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。