逻辑斯蒂回归（logistic regression，又称“对数几率回归”）是经典的分类方法。虽然名字中包含回归，但它被用来分类。
逻辑斯蒂分布
设 \(X\) 是随机变量，\(X\) 服从逻辑斯蒂分布是指 \(X\) 的概率分布函数 \(F(x)\) 和概率密度函数 \(f(x)\) 为：
\[F(x) = P(X \le x) = \frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/ \gamma}}
\]
\[f(x) = F'(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/ \gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2}
\]
其中，\(\mu\) 是位置参数，\(\gamma > 0\) 是形状参数。密度函数 \(f(x)\) 和分布函数 \(F(x)\) 的图形如下所示：
可以看到，分布函数 $F(x)$ 是一条 S 型曲线，该曲线在两边增长较缓，而中心增长较快。$\mu$ 控制着曲线的位置，$F(x)$ 关于 $(\mu, \frac{1}{2})$ 中心对称，而 $\gamma$ 则控制曲线的形状，$\gamma$ 越小，曲线在中心附近增长的越快。
## 二项逻辑斯蒂回归模型
**二项逻辑斯蒂回归（binomial logistic regression model）**是一种**分类**模型，二项代表该模型被用来进行二类分类。二项逻辑斯蒂回归由条件概率 $P(Y|X)$ 表示，其中随机变量 $X$ 的取值为实数，随机变量 $Y$ 的取值为 0 或 1 。通过训练数据（监督学习）来估计模型的参数，从而确定模型。
### 二项逻辑斯蒂回归的定义
二项逻辑斯蒂回归是如下的条件概率分布：
\[P(Y=1|X) = \frac{exp(w \cdot x +b)}{1+exp(w \cdot x +b)} \tag{1}
\]
\[P(Y=0|X) = \frac{1}{1+exp(w \cdot x + b)} \tag{2}
\]
其中， \(x \in \mathbb{R}^n\) 是一个 n 维向量，为输入，\(w \in \mathbb{R}^n\) 和 \(b \in \mathbb{R}\) 为参数，\(w\) 被称为权值向量， \(b\) 被称为偏置，\(w \cdot x\) 为两者的內积。
对于给定的输入实例 \(x\)， 可以根据(1)(2)两式计算出两个概率 \(P(Y=1|X)\) 和 \(P(Y=0|X)\)，比较两个概率的大小，将实例 \(x\) 分到概率较大的那一类。
有时，为了方便，可以对 \(w\) 和 \(x\) 进行扩充，扩充后 \(w= (w^1,w^2,...,w^n,b)\)，\(x=(x^1,x^2,...,x^n,1)\)，这样\(w \cdot x\) 就相当于扩充前的 \(w \cdot x+ b\)，所以式（1）（2）可以改写为：
\[P(Y=1|X) = \frac{exp(w \cdot x)}{1+exp(w \cdot x)} \tag{3}
\]
\[P(Y=0|X) = \frac{1}{1+exp(w \cdot x )} \tag{4}
\]
可以看到，当线性函数 \(w \cdot x\) 的值越接近于正无穷，概率值就越接近于 1 ；线性函数值越接近于负无穷，概率就越接近于 0 ，这与前面 \(F(x)\) 的图像一致，所以该模型就是逻辑斯蒂回归模型。
模型的参数估计
给定训练集 \(T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}\)，其中\(x_i \in \mathbb{R}^n\)，\(y_i \in \{0,1\}\)，可以使用极大似然估计法来估计模型的参数 \(w\)，从而得到逻辑斯蒂回归模型。步骤如下：
假设：
\[P(Y=1|x)=\pi(x), \quad P(Y=0|x)=1-\pi(x)
\]
似然函数为：
\[\prod_{i=1}^N[\pi(x_i)]^{y_i}[1-\pi(x_i)]^{1-y_i}
\]
对数似然函数为：
对 $L(w)$ 求极大值，就得到了 $w$ 的估计值。
这样，问题就变成了求以对数似然函数为目标函数的最优化问题，逻辑斯蒂回归学习通常使用梯度下降法和拟牛顿法。
假设估计的参数值为 $\hat w$，则学到的二项逻辑斯蒂回归模型为：
\[P(Y=1|X) = \frac{exp(\hat w \cdot x)}{1+exp(\hat w \cdot x)}
\]
\[P(Y=0|X) = \frac{1}{1+exp(\hat w \cdot x )}
\]
多项逻辑斯蒂回归
可以将二项逻辑斯蒂回归推广到多项逻辑斯蒂回归。假设随机变量 \(Y\) 的取值集合为 \(\{0, 1, ..., K\}\)，则多项逻辑斯蒂回归的模型就是：
其中，$x \in \mathbb{R}^{n+1}$，$w_k \in \mathbb{R}^{n+1}$。
同样可以使用极大似然估计来估计模型中的参数。
## 逻辑斯蒂回归的实现
这里使用python库`scikit-learn`来实现逻辑斯蒂回归，使用的方法为`sklearn.linear_model.SGDClassifier`，该方法使用梯度下降来实现逻辑斯蒂回归，函数的使用方法和参数含义可以参考[文档](http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.SGDClassifier.html#sklearn.linear_model.SGDClassifier)。
训练数据如下：
```
1,0,0,1,0
1,0,0,2,0
1,1,0,2,1
1,1,1,1,1
1,0,0,1,0
2,0,0,1,0
2,1,1,2,0
2,1,1,2,1
2,0,1,3,1
2,0,1,3,1
3,0,1,3,1
3,0,1,2,1
3,1,0,2,1
3,1,0,3,1
3,0,0,1,0
```
数据来自贷款信息，每一行代表一个实例（贷款人）。数据共分为5列，前4列为属性值，分别是年龄（1青年，2中年，3老年）、是否有房子（0没房子，1有房子）、是否有工作（0没工作，1有工作）和信用值（1,2,3分别是信用一般，好，非常好），最后一列为类别（0代表没有贷款资格，1代表有贷款资格）。目标是训练出一个逻辑斯蒂回归模型，输入新的实例，判断该实例是否有贷款资格。将上面的数据保存到`data.txt`，代码如下：
```python
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn import linear_model
df = pd.read_csv("D:\data.txt", header=None)
属性值
xdata = df.loc[:,:3]
类别
ydata = df.loc[:,4]
clf = linear_model.SGDClassifier(loss="log", max_iter=1000) #log代表logistic
clf.fit(xdata, ydata)
青年人、没工作、有房子、信用好
clf.predict(np.array([1,0,1,1]).reshape(1,-1))
输出：
array([0], dtype=int64)
`0`代表该申请人没有贷款资格。
除了这个方法外，还可以使用[sklearn.linear_model.LogisticRegression](http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.LogisticRegression.html)以及[sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV](http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV.html#sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV)来实现逻辑斯蒂回归。
## 总结
逻辑斯蒂回归模型是一种经典的分类模型，它根据条件概率的取值来对实例进行分类。可以使用极大似然估计来估计模型中的参数 $w$ 。
## 参考
1、李航《统计学习方法》