主要idea：当重叠大概是70%，目前的重建算法不能很好地利用冗余。通过把衍射图像往detector孔径之外外推，我们更好地利用了冗余并且提高了分辨率。
已有的其他成像方式中的三种超分辨率方法：
- The “synthetic aperture”（in digital Fourier holography）:记录一系列的Fourier holograms，每一张反应了用不同角度的平面波去照射物体的光照情况。每次采样（傅里叶全息图）在探测区域的一张更大的“synthetic” hologram的不同区域的translate。这些数据能够被重新组合去得到更大的全息图，这个全息图的傅里叶变化能得到一个更高分辨率的空间域的图。在ptychography中，每个probe可以被考虑成“局部相位梯度的合并”（an amalgamation of localized phase gradients），和某个角度入射的平面波相似。
- Analytic continuation：by analytic continuation，在一定区域内一个finite物体的空间频率能够被外推出这个范围。
- Subpixel shifting
【这个算法是同时去计算probe信息和物体信息的】
detector的精度：MxN，目标：得到cMxcN的detector图像。
设probe的位置（或者物体的位置，总之是相对的）由整数部分和小数部分组成：\(\mathbf{R}_{j}=\left[\Delta x\left(p_{(x, j)}+q_{(x, j)}\right), \Delta y\left(p_{(y, j)}+q_{(y, j)}\right)\right]\)
仍然迭代解决，每张图的更新：从 \(O_{j-1}(\mathbf{r})\)算出\(o_{j-1}(\mathbf{r})\)（更小），大小是 \(c M \times c N\) ，中心是\(\left[p_{(x, s(j))}, p_{(y, s(j))}\right]\)（整数位置）。这个probe估计了subpixel移动\(-\mathbf{q}_{s(j)}\)然后乘\(o_{j-1}(\mathbf{r})\)的结果，形成了出射波\(\psi_{j}(\mathbf{r})\)。用傅里叶变换\(P_{j-1}(\mathbf{r})\) 模拟小数位移，然后再乘一个phase ramp：\(\phi_{j}(\mathbf{u})=-2 \pi\left(\frac{q_{(x, s(j))} u}{c M}+\frac{q_{(y, s(j))} v}{c N}\right)\)。
然后把出射波做傅里叶变化得到\(\Psi_{j}(\mathbf{u})\)，也就是和 \(I_{s(j)}(\mathbf{u}) . \Psi_{j}(\mathbf{u})\)相关的出射波的估计，它的大小是 \(c M \times c N\) pixels，其中中心的\(M \times N\) 个pixel是detector对应的。用采集到的强度\(\sqrt{I_{s(j)}(\mathbf{u})}\)替换它们的模并保持相位不变。
（这样做的一个小问题：在边缘处的intensity会不断加强，带来噪声。解决方法：把\(\Psi_{j}(\mathbf{u})\)的边缘直接设为0。）
然后用\(\Psi_{j}(\mathbf{u})\)反求O和P，进行下一次迭代。
其实思想很简单，就是之前最朴素的ER算法，在空间域/频域去调整的时候，都是把约束外的部分直接砍掉了，但是在这篇文章中约束外的部分留下了一些，这样就保留了更多信息，从而能够复原出精度更高的图像。
相对于上面的文字描述，这个图片更直观：
我比较关心的是subpixel shift在这里的运用，但是看了两遍还是觉得，是不是和subpixel shifting那篇文章的思想并没有任何关系，这里只是普通地把probe位置的小数和整数部分分开，能够方便加速计算，这样而已...文中提到了一句，“we will see that convergence of our superresolution algorithm depends on the use of these subpixel shifts”，但是貌似只是通过实验对比证明了这一点，并没有很有逻辑。也许是我后半段看得太简略了【bushi