前面写了一个参数估计，现在也顺便把假设检验也总结一下吧，主要参考书还是那本《概率论与数理统计》(陈希孺)。
假设检验就是提出一个命题，根据样本判断对错。
问题提法
有一个已知分布的总体，其中个别参数未知。现在抽取的一组样本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，并针对该未知参数而提出一个命题(命题正确与否完全由该未知参数决定)，称为原假设\(H_0\)，其否定称为备择假设或对立假设\(H_1\)；任务是：提出一个检验\(\Phi\)，并根据此检验，判断接受原命题还是备择命题。
检验\(\Phi\)是一个判断准则，对于一个问题，可以提出许多种检验。
例：原来一种产品质量指标符合正态分布\(N(\mu_1,\sigma^2)\)，经过工艺改进后其均值可能有提高(设为\(\mu_2\))，为验证是否提高，现在抽出样本\(X_1,\cdots,X_n\)；原假设\(H_0:\{\mu_2\geqslant\mu_1\}\)，备择假设\(H_1:\{\mu_2<\mu_1\}\)；提出检验\(\Phi\)：若\(\hat{X}\geqslant C\)则接受原命题，否则拒绝原命题，\(C\)为某待定常数。
按上面所说，接受\(H_0\)与否，取决于抽到的样本如何。所谓接受域是这样一个集合$$A={(X_1,\cdots,X_n)|使得H_0成立}$$拒绝域是这样一个集合$$B={(X_1,\cdots,X_n)|使得H_0'成立}$$
功效函数和两类错误
因为检验可以有很多种，同一个样本，在不同的检验下，会得出不同的结论，检验之间自然也存在着优劣之分。标志着某检验的效能的量叫做某检验的功效函数。
定义：设总体的未知参数为\(\lambda\)，则\(\beta_\Phi(\lambda)=P_{\lambda}(根据\Phi拒绝H_0)\)为检验\(\Phi\)的功效函数。
在功效函数的定义中，概率\(P(\cdot)\)的下标\(\lambda\)表示的意思是：令总体的未知参量为某\(\lambda\)值时，抽取样本，根据检验\(\Phi\)分析样本后拒绝原假设的概率。也就是说某检验的功效函数是系统未知参量的函数，功效函数等于被原假设被拒绝的概率。
并非单纯地功效函数越大，检验就越优。这里要分情况考虑：由于\(H_0\)正确与否完全取决于系统未知参数的值，所以对于所有使得\(H_0\)成立的参数的值，我们希望我们的检验拒绝\(H_0\)的概率越低越好(功效函数尽量小)；反过来，对于所有使得\(H_1\)成立的参数的值，我们希望我们的检验拒绝\(H_0\)的概率越高越好(功效函数尽量大)。
上图中，\(H_0:\lambda<0\)，\(H_1:\lambda\geqslant0\)，在\(\lambda<0\)时应该接受原假设，所以一个更优的检验的功效函数应该具有更小的值；同理在\(\lambda\geqslant0\)时，一个更优的检验的功效函数应该具有更大的值，所以上图中检验\(\Phi_1\)比检验\(\Phi_2\)更优。
由上图可见，即使选择了一个非常优秀的检验，也可能在不该拒绝的时候拒绝，在不该接受的时候接受。所谓第一类错误指的是：\(H_0\)正确但检验拒绝了它；第二类错误指的是：\(H_0\)错误，但检验接受了它。在上图中的反应就是，在区间\([-\infty,0_-]\)上，功效函数要始终值很小才能尽量避免第一类错误，在区间\([0_+,+\infty]\)上，功效函数应该值始终很大才能尽量避免第二类错误。
想同时处理好这两类错误是不可能的：观察\(\lambda=0\)处取值\(\beta_\Phi(\lambda)|_{\lambda=0}\)记为\(s\)，因为功效函数是连续的，如果\(s\)太大，则在\(0_-\)附近，第一类错误出现的概率会增大；如果\(s\)太小，则在\(0_+\)附近，第二类错误出现的概率会增大。换句话说，要求同时处理好这两类错误，就等于要求功效函数在区间\([0_-,0_+]\)上是急增长的，而这是不可能的。
所以一般处理方法的思想是，先令第一类错误概率不超过某个确定的小量\(\alpha\)，再调节第二类错误概率使其尽量低。
定义：设\(\Phi\)是原假设\(H_0\)的一个检验，\(\beta_\Phi(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)\)为其功效函数，\(\alpha\in[0,1]\)是一个常数，如果对于任意\((\lambda_1,\cdots,\lambda_k)\in H_0\)满足$$\beta_\Phi(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)\leqslant\alpha$$则称\(\Phi\)为\(H_0\)的一个水平为\(\alpha\)的检验。
*如果有检验\(\Phi\)，水平为\(\alpha\)，且对于任何一个其他的水平同为\(\alpha\)的检验\(\Psi\)都有$$\beta_\Phi(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)\geqslant\beta_\Psi(\lambda_1,\cdots,\lambda_k), \forall(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)\in H_0'$$则称检验\(\Phi\)是水平\(\alpha\)的一致最优检验。很多情况下，一致最优检验是不存在的。
正态总体的参数检验
总体方差\(\sigma^2\)已知，检验总体均值\(\mu\)
例题：设\(X_1,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的样本，其中\(\sigma^2\)已知，提出假设如下(\(\mu_0\)是一个常数)\(H_0:\mu\geqslant\mu_0\)，\(H_1:\mu<\mu_0\)
提出检验\(\Phi:当\bar{X}\geqslant C\)时接受原假设，否则拒绝. 考虑功效函数$$\beta_{\Phi}(\mu)=P_\mu(\bar{X}<C)=P_\mu(\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)/\sigma<\sqrt{n}(C-\mu)/\sigma)$$另一方面\(\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)/\sigma\sim N(0,1)\)，以\(\Psi(\cdot)\)记其累积分布函数CDF，根据CDF的意义，可以得出$$\beta_{\Phi}(\mu)=\Psi(\sqrt{n}(C-\mu)/\sigma)$$它是\(\mu\)的减函数。控制第一类错误的概率不超过\(\alpha=0.05\)可以表达为：对\(\mu\geqslant\mu_0\)，\(\beta_{\Phi}(\mu)<\alpha\)，因为是减函数，只需令\(\beta_{\Phi}(\mu_0)=\alpha\)即可，也就是说，令\(\sqrt{n}(C-\mu_0)/\sigma=\mu_{1-\alpha}=-\mu_\alpha\)即可(\(\mu_{1-\alpha}\)表示分位点)。解出\(C=\mu_0-\sigma\mu_\alpha/\sqrt{n}\).
这样，检验\(\Phi\)就满足了第一类错误概率小于\(\alpha=0.05\)，至于第二类错误，如果要求第二类错误概率一律低于\(\beta=0.05\)，则这是不可能的：已经限制了\(\beta_{\Phi}(\mu_{0+})=\alpha=0.05\)，不可能再限制\(\beta_{\Phi}(\mu_{0-})\geqslant1-\beta=0.95\). 所以要处理第二类错误，只能放宽要求：对某个指定的\(\mu_0'<\mu_0\)，有\(\beta_{\Phi}(\mu_0')\geqslant1-\beta\).
这就要求(因为\(\beta_{\Phi}(\mu)\)是单减的)$$\beta_{\Phi}(\mu_0')=\Psi(\sqrt{n}(C-\mu_0')/\sigma)=1-\beta$$代入上面求的常数\(C\)，可得(设\(\mu_\beta\)是另一个分位点)$$\Psi\left(\frac{\sqrt{n}(\mu_0-\mu_0')}{\sigma}-\mu_\alpha\right)=1-\beta\Rightarrow\frac{\sqrt{n}(\mu_0-\mu_0')}{\sigma}-\mu_\alpha\geqslant \mu_\beta$$解不等式得出$$n\geqslant\sigma2\frac{(\mu_\alpha+\mu_\beta)2}{(\mu_0-\mu_0')^2}$$这就要求样本容量足够大。至此，似乎得出了一个奇怪的结论：要求第二类错误概率足够低，却推出了样本容量不能太小。实际上解释是：样本容量越大，越能反应出总体的特征，分辨率越高(\(\bar{X}\)越精确)，从而犯第二类错误的可能性越小。
总体方差\(\sigma^2\)未知，检验总体均值\(\mu\)
问题和前面一样，只不过条件换成总体的方差未知。这时提出的检验\(\Phi\)和上面类似，但使用样本标准差\(s\)代替\(\sigma\)，同时，把正态分布换成自由度为\(n-1\)的\(t\)分布：$$\Phi:当\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)/s\geqslant-t_{n-1}(\alpha)时接受H_0，否则拒绝.$$证明思路是，写出该检验的功效函数，它是\(\mu\)和\(\sigma\)的二元函数，但是当\(\mu=\mu_0\)时其值为\(\alpha\)(因为这时\(\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)/s\)服从\(t\)分布)，可以分析得出，当\(\mu>\mu_0\)时，功效函数的值小于\(\alpha\)，所以只需要把\(\mu=\mu_0\)处作为临界值就可以了。