深入理解线性模型（二）---基于似然函数的估计

更新时间：2019.10.31

1. 引言

  在上一篇中，我们从损失函数的角度出发讨论了\(\beta\)和\(\sigma\)的估计。在本篇将换一种极具统计味道的角度，从似然函数出发来讨论了\(\beta\)和\(\sigma\)的估计。从中我们也将看见，在不同的假设中，损失函数将会发生不同的变化。

2. 关于\(\varepsilon\)假设

  在上一篇(基于损失函数的估计)中，我们提到，对于线性模型，我们常常使用Guass-Markov假设，即：

1. \(E(\varepsilon) = 0\)
2. \(cov(\varepsilon) = \sigma^2 I_n\)

  但是，实际上我们同方差的假设是总是不满足的，完整来说，对\(\varepsilon\)的假设应该有三种：

1. 同方差，且各个随机误差变量不相关：\(cov(\varepsilon) = \sigma^2 I_n\)
2. 异常差，但各个随机误差变量不相关，\(cov(\varepsilon) = diag(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \cdots, \sigma_n^2)\)
3. 异方差，且各个随机误差变量是相关的，

  此时，记\(cov(\varepsilon) = \Sigma\)

3. 基于似然函数的估计

  之前是从损失函数的角度进行参数的估计，但是实际上每个损失函数都应该对应着一个分布，并使得分布的似然函数达到最大
  我们知道在X给定的情况下，似然函数\(L(\theta;Y,X) = P_{\theta}(Y_1 = y_1, Y_2 = y_2, \cdots, Y_n = y_n)\)。假设\(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\)是独立的，有\(L(\theta;Y,X) = \prod_{i=1}^nP(Y = y_i)\)。当是离散情况的时候，可以进一步化为：\(L(\theta;Y,X) = \prod_{i=1}^nP_i(\theta)\)。当是连续情况的时候，则可以化为：\(L(\theta;Y,X) = \prod_{i=1}^n f(y_i;\theta)\)

3.1 基于假设1

  如果满足假设1，\(cov(\varepsilon) = \sigma^2 I_n\)， 并加上一个正态性的假设，即有\(\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)\)，那么，\(y_i = x_i\beta + \varepsilon_i \sim N(x_i\beta, \sigma^2)\)，那么有似然函数：
\begin{equation}
\begin{split}
L(\beta, \sigma^2, Y, X) & = \prod_{i=1}^n f(y_i)\\
& = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- \frac{(y_i - x_i \beta)^2}{2 \sigma^2}}\\
& = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma})^n e^{- \frac{1}{2 \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n(y_i - x_i\beta)^2}
\end{split}
\end{equation}

  可以看到，似然函数中含有的\(\sum_{i=1}^n(y_i - x_i\beta)^2\)部分正是我们之前讨论的二次损失形式。那么我们便了解到，基于假设1时，确实是应该采用我们之前所使用的二次损失形式
  通常为了简便计算，我们都会将似然函数对数化

\begin{equation}
\begin{split}
lnL(\beta, \sigma^2, Y, X) & = -nln(\sqrt{2\pi}\sigma)- \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n(y_i - x_i\beta)^2
\end{split}
\end{equation}

  记\(G(\beta, \sigma^2) = nln(\sqrt{2\pi}\sigma) + \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n(y_i - x_i\beta)^2\)，令似然函数最大化，即是求\(min \hspace{1mm}G(\beta, \sigma^2)\)

  对\(G(\beta, \sigma^2)\)求关于\(\beta\)的偏导有

\begin{equation}
\begin{split}
\frac {\partial G(\beta, \sigma^2)}{\partial \beta}
&= 0 + \frac{1}{2 \sigma^2}2 \displaystyle \sum_{i=1}^n (y_i - x_i \beta)x_i\\
& = \frac{1}{2 \sigma^2} \displaystyle \sum_{i=1}^n 2(x_i y_i - x_i^2 \beta) = 0
\end{split}
\\
=> \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i y_i - x_i^2 \beta) = 0 => \displaystyle \sum_{i=1}^n x_iy_i = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 \beta\\
=> X^T Y = X^T X \beta => \hat \beta = (X^T X)^{-1} X^T Y
\end{equation}

  对\(G(\beta, \sigma^2)\)求关于\(\sigma\)的偏导有

\begin{equation}
\begin{split}
\frac {\partial G(\beta, \sigma^2)}{\partial \sigma}
&= n\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \sqrt{2\pi} - \frac{2}{2 \sigma^3} \sum_{i=1}^n(y_i - x_i \beta)^2 \\
& = \frac{n}{\sigma} + \frac{1}{\sigma^3} \sum_{i=1}^n(y_i - x_i \beta)^2 = 0
\end{split}
\\
=> \frac{1}{\sigma^3} \sum_{i=1}^n(y_i - x_i \beta)^2 = \frac{n}{\sigma}
=> \hat \sigma^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(y_i - x_i\beta)^2}{n}
\end{equation}

  从这里便可以看出，通过似然函数，一次就搞定了参数\(\beta\)和\(\sigma\)的估计，而基于损失函数的估计只是估计出了\(\beta\)，而\(\sigma\)是另外造一套理论估计的

• tips：但是基于似然函数的\(\sigma\)估计有一个小问题，它所得到的不是一个无偏估计（和\(\hat \sigma^2 = \frac{SSE}{n-p}\)略显不同）。因此，有的人也采用限制似然估计（REML）来进行代替。

3.2 基于假设2

  如果满足假设2，\(cov(\varepsilon) = cov(\varepsilon) = diag(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \cdots, \sigma_n^2)\)， 并加上一个正态性的假设，即有\(\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2_{ii})\)，那么，\(y_i = x_i\beta + \varepsilon_i \sim N(x_i\beta, \sigma^2_{ii})\)，那么有似然函数：

\begin{equation}
\begin{split}
L(\beta, \sigma^2, Y, X) & = \prod_{i=1}^n f(y_i)\\
& = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_{ii}} e^{- \frac{(y_i - x_i \beta)^2}{2 \sigma^2_{ii}}}\\
& = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n \prod_{i=1}^n(\frac{1}{\sigma_{ii}}) e^{- \frac{1}{2} \displaystyle \sum_{i=1}^n(\frac {y_i - x_i \beta}{\sigma_{ii}})^2}
\end{split}
\end{equation}

  我们可以发现基于假设2下，似然函数的核心部分发生了变化，不再是\(\sum_{i=1}^n(y_i - x_i\beta)^2\)。因此，根据之前的经验，基于假设2，所采用的损失函数也应该发生变化。此时采用的损失函数应该是标准化的二次损失\(\displaystyle \sum_{i=1}^n(\frac {y_i - x_i\beta}{\sigma_{ii}})^2\)，我们也把这称为加权最小二乘估计。
  将似然函数对数化：
\begin{equation}
\begin{split}
lnL(\beta, \sigma^2, Y, X) = -nln(\sqrt{2\pi})- \sum_{i=1}^nln\sigma_{ii} - \frac{1}{2} \displaystyle \sum_{i=1}^n(\frac {y_i - x_i\beta}{\sigma_{ii}})^2
\end{split}
\end{equation}

  记\(G(\beta, \sigma_{ii}^2) = nln(\sqrt{2\pi}) + \sum_{i=1}^nln\sigma_{ii} + \frac{1}{2} \displaystyle \sum_{i=1}^n(\frac {y_i - x_i\beta}{\sigma_{ii}})^2\)，令似然函数最大化，即是求\(min \hspace{1mm}G(\beta, \sigma_{ii}^2)\)
  对\(G(\beta, \sigma_{ii}^2)\)求关于\(\beta\)的偏导有

\begin{equation}
\begin{split}
\frac {\partial G(\beta, \sigma_{ii}^2)}{\partial \sigma_{ii}}
&= 0 + 0 - \frac{1}{2}2 \displaystyle \sum_{i=1}^n (\frac {y_i - x_i\beta}{\sigma_{ii}})\frac{x_i}{\sigma_{ii}}\\
& = - \displaystyle \sum_{i=1}^n (\frac {x_iy_i - x_i^2 \beta}{\sigma_{ii}^2}) = 0
\end{split}
\\
=> \displaystyle \sum_{i=1}^n (\frac {x_i y_i}{\sigma_{ii}^2}) = \displaystyle \sum_{i=1}^n (\frac {x_i^2 \beta}{\sigma_{ii}^2}) \\
=> X_c^T Y_c = X_c^T X_c\beta => \hat \beta = (X_c^T X_c)^{-1} X_c^T Y_c
\end{equation}

  记\(X_c = (\frac{x_1}{\sigma_{11}}, \frac{x_2}{\sigma_{22}}, \cdots, \frac{x_n}{\sigma_{nn}})^T, Y_c = (\frac{y_1}{\sigma_{11}}, \frac{y_2}{\sigma_{22}}, \cdots, \frac{y_n}{\sigma_{nn}})^T\)
  对\(G(\beta, \sigma_{ii}^2)\)求关于\(\sigma_{ii}\)的偏导有，以\(\sigma_{11}\)为例

\begin{equation}
\begin{split}
\frac {\partial G(\beta, \sigma_{ii}^2)}{\partial \sigma_{11}}
&= 0 + \frac{1}{\sigma_{11}} - \frac{1}{2} 2 \frac{(y_1 - x_1 \beta)^2}{ \sigma_{11}^3} \\
& = \frac{1}{\sigma_{11}} - \frac{(y_1 - x_1 \beta)^2}{ \sigma_{11}^3} = 0
\end{split}
\\
=> \frac{1}{\sigma_{11}} = \frac{(y_1 - x_1 \beta)^2}{ \sigma_{11}^3}
=> \hat \sigma_{11}^2 = (y_1 - x_1 \beta)^2
\end{equation}

  类似地，也就有\(\hat \sigma_{ii}^2 = (y_i - x_i\beta)^2\)

3.3. 基于假设3

  如果满足假设3，\(cov(\varepsilon) = \Sigma\)， 并加上一个正态性的假设，即有\(\varepsilon\)满足多维正态分布，\(\varepsilon \sim N_n(0, \sigma^2_{ii})\)，那么，\(Y = X\beta + \varepsilon \sim N_n(X\beta, \Sigma)\)，那么有似然函数

\begin{equation}
\begin{split}
L(\beta, \Sigma Y, X) & =P(Y_1 = y_1, Y_2 = y_2, \cdots, Y_n = y_n) = P(Y=y)\\
& = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n |\Sigma|^{\frac{1}{2}}}e ^{- \frac{1}{2}(Y - X\beta)^T \sum^{-1} (Y - X\beta)}
\end{split}
\end{equation}

  其中，\(|\Sigma|\)是\(\Sigma\)的行列式
  我们可以发现基于假设3下，似然函数的核同样也发生了变化。那么，基于这种假设，此时采用的损失函数应该是\((y - x\beta)^T \Sigma^{-1} (y - x\beta)\)。将似然函数对数化：

  记\(G(\beta, \Sigma) = nln(\sqrt{2\pi}) + \frac{1}{2}ln|\Sigma| + \frac{1}{2} (Y - X\beta)^T \Sigma^{-1} (Y - X\beta)\)，令似然函数最大化，即是求\(min \hspace{1mm}G(\beta, \Sigma)\)
  对\(G(\beta, \Sigma)\)求关于\(\beta\)的偏导有

\begin{equation}
\begin{split}
\frac {\partial G(\beta, \Sigma)}{\partial \beta}
&= 0 + 0 - \frac{1}{2}2 X^T \Sigma^{-1} (Y - X\beta)\\
& = X^T \Sigma^{-1}(X\beta - Y) = 0
\end{split}
\\
=> X^T \Sigma^{-1}X\beta = X^T \Sigma^{-1}Y \\
=> \hat \beta = (X^T \Sigma^{-1} X)^{-1} X^T \Sigma^{-1} Y
\end{equation}

  对\(G(\beta, \Sigma)\)求关于\(\Sigma\)的偏导有

\begin{equation}
\begin{split}
\mathrm{d}G & = \frac{1}{2} |\Sigma|^{-1} d |\Sigma| - \frac{1}{2}(Y - X \beta)^T \Sigma^{-1}d \Sigma \Sigma^{-1}(Y-X \beta)\\
& = \frac{1}{2}tr(\Sigma^{-1} d \Sigma) - tr(\frac{1}{2}(Y - X \beta)^T \Sigma^{-1} d \Sigma \Sigma^{-1}(Y-X \beta))\\
& = \frac{1}{2}tr(\Sigma^{-1} d \Sigma) - tr(\frac{1}{2}\Sigma^{-1}(Y-X \beta)(Y - X\beta)^T \Sigma^{-1} d \Sigma)\\
& = tr(\frac{1}{2}((\Sigma^{-1} - \Sigma^{-1}(Y-X \beta)(Y - X \beta)^T \Sigma^{-1}))d \Sigma)
\end{split}
\\
=> \frac{\partial G}{\partial \Sigma} = \frac{1}{2}(\Sigma^{-1} - \Sigma^{-1} (Y-X \beta)(Y - X \beta)^T \Sigma^{-1} )^T = 0\\
=> \Sigma^{-1}(Y-X \beta)(Y - X \beta)^T \Sigma^{-1} = \Sigma^{-1} \\
=> \hat \Sigma = (Y-X \beta)(Y - X \beta)^T
\end{equation}

4. 估计的优良性

  在基于损失函数的估计中，我们讨论了估计的优良性，那么当换了假设和损失函数后，我们的估计是否还是具有优良的性质呢
  对于假设3中，有
\begin{equation}
\begin{split}
L_3(\beta) & = (Y - X\beta)^T \Sigma^{-1} (Y - X\beta) \\
& = (Y - X\beta)^T \Sigma^{- \frac{1}{2}} \Sigma^{-\frac{1}{2}} (Y - X\beta)\\
& = (\Sigma^{-\frac{1}{2}}Y - \Sigma^{-\frac{1}{2}}X \beta)^T( \Sigma^{- \frac{1}{2}}Y - \Sigma^{-\frac{1}{2}}X \beta)\\
& = (Y^* - X^* \beta)^T (Y^* - X^* \beta)
\end{split}
\end{equation}

  其中，记\(\Sigma^{-\frac{1}{2}}Y - \Sigma^{-\frac{1}{2}}X\beta\)为\(Y^* - X^* \beta\)，由于\(L_1(\beta) = (Y-X\beta)^T(Y - X\beta)\)具有优良的性质，那么\(L_3(\beta) = (Y^* - X^* \beta)^T(Y^* - X^* \beta)\)的估计也应该具有优良的性质。

5. 假设的场景

  为什么总假设线性模型符合假设1呢？实际上当我们基于假设2时，要估计的参数有n+p个(n个不同的\(\sigma_{ii}\)，和p个\(\beta_i\))，而我们只有n个样本，这样就出现自由度不足的情况；而当我们基于假设3时，要估计的参数就更多了（有\(\frac{n^2 + n}{2}+p\)个）。这样基本很难做估计，即使是做出出来了，估计也不一定唯一。

  面对这种情况，通常我们都要加大样本量，像可以一个个体测m次，得到mn个数据，当然这时模型也变成了混合模型。因此，对于假设2和假设3，更加适合一些纵向数据（经济上的面板数据、心理学上的重复测量数据、社会学上的多水平数据）