保守力与势能
一个带有电量\(q\)质量为\(m\)的带电物体，置于任意的电场\(\vec{E}(\vec{r})\)中，会如何运动？按照牛顿第二定律运动：
\begin{equation*} m\frac{\mathrm d^2\vec{r}}{\mathrm dt^2}=q\vec{E}(\vec{r}) \end{equation*}
这个问题有更方便的方法——能量守恒。
考虑如下问题，一个物体沿无摩擦曲面下落，对于这一过程，动能 \(T\) 和重力势能 \(W\)总量保持不变，即：
\begin{equation} T+W=C \label{TUc} \end{equation}
方程\eqref{TUc}可以从牛顿定律导出。
\begin{equation*} \frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=F_tv=-mg\sin\theta \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=-mg\frac{\mathrm dh}{\mathrm ds}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} \end{equation*}
于是有
\begin{equation*} \mathrm dT+mg\mathrm dh=0 \end{equation*}
积分之后，即得方程\eqref{TUc}。
下面我们看三维情况。
\begin{equation*} \frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot \frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}+\frac{1}{2}m\frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}\cdot\vec{v}=m\frac{\mathrm d\vec{v}}{\mathrm dt}\cdot\vec{v}=\vec{F}\cdot\vec{v}=\vec{F}\cdot\frac{\mathrm d\vec{l}}{\mathrm dt} \end{equation*}
于是有
\begin{equation*} \mathrm dT=\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l} \end{equation*}
两边积分，有
\begin{equation*} \Delta T=\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l} \end{equation*}
左边是动能的变化量，右边是外力做的功，右边的积分沿着物体运动路径进行积分。
对于物体从光滑曲线上下滑这个例子，物体所受约束力不做功，只有重力做功，做功为
\begin{equation*} \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l}=\int_{z_1}^{z_2}-mg\mathrm dz=mg(z_1-z_2) \end{equation*}
这说明重力做功与具体路径无关，只与初末位置有关，这样的力我们称为保守力。除了重力，还有很多力是保守力，比如胡克弹簧施加的力，万有引力等等。也有很多力不是保守力，比如摩擦力、洛伦兹力（二者都是依赖于速度的力）。
下面我们举一个不是保守力的例子
\begin{equation*} \vec{F}=y\hat{i} \end{equation*}
路径1为从原点沿\(x\)轴到\((1,0)\)点，然后沿平行\(y\)轴方向到\((1,1)\)点。
路径2为从原点沿\(y\)轴到\((0,1)\)点，然后沿平行\(x\)轴方向到\((1,1)\)点。
对于保守力，做功与路径无关，只与初末位置有关，物体在某保守力\(\vec{F}\)作用下从\(\vec{r}_1\)运动到\(\vec{r}_2\)，保守力做功
\begin{equation*} A_{12}=\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l}=W(\vec{r}_1)-W(\vec{r}_2)=-\Delta W=\Delta T=T_2-T_1 \end{equation*}
函数\(W(\vec{r})\)称为保守力的势能。物体运动过程中，动能\(T\)与势能\(W\)之和保持不变。
保守力与它对应的势能之间有什么关系？
假设我们已经知道势能的函数形式\(W(x,y,z)\)，现在让物体沿\(x\)轴做个很小的移动\(\Delta x\)，保守力做功
\begin{equation*} F_x\Delta x=-\Delta W \end{equation*}
于是力为
\begin{equation}
F_x=-\frac{\Delta W}{\Delta x}
\end{equation}
显然这个式子是不严格的，只有在\(\Delta x \rightarrow 0\)时才成立，这正是\(W\)对\(x\)的微商\(-\mathrm dW/\mathrm dx\)，但是要注意，我们只考虑了\(x\)的变化，\(y\)和\(z\)是不变的，所以这里的微商应为偏导。于是，我们得到保守力的\(x\)分量是势能\(U\)对\(x\)的负的偏导，即
\begin{equation*} F_x=-\frac{\partial W}{\partial x} \end{equation*}
同样，力的其他分量与势能的关系为
\begin{equation*} F_y=-\frac{\partial W}{\partial y} \end{equation*}
\begin{equation*} F_z=-\frac{\partial W}{\partial z} \end{equation*}
所以保守力与势能的关系为
\begin{equation*} \vec{F}=-\hat{i}\frac{\partial W}{\partial x}-\hat{j}\frac{\partial W}{\partial y}-\hat{k}\frac{\partial W}{\partial z}=-\left(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}-\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}-\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\right)W=-\nabla W \end{equation*}
其中\(\nabla\) 为一个运算符号，作用到一个标量函数上，得到函数的梯度。
这样的力做的功真的与路径无关吗？不妨计算一下。
\begin{equation*} \begin{split} A_{12}=&\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot\mathrm d\vec{l}=\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\left (F_x\mathrm dx+F_y\mathrm dy +F_z\mathrm dz\right )\\ =&-\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\left (\frac{\partial W}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial W}{\partial y}\mathrm dy +\frac{\partial W}{\partial z}\mathrm dz\right )\\ =& -\int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\mathrm dW =W(\vec{r}_1)-W(\vec{r}_2) \end{split} \end{equation*}
确实与路径无关，只与初末位置有关。
练习1 求势能函数\(W(x,y,z)=x^3y^2+\sin z\)对应的保守力。
保守力有什么特点呢？根据偏导的性质，有
\begin{equation*} \begin{split} &\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x}\\ &\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial x}\\ &\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial y} \end{split} \end{equation*}
如何判断一个力是不是保守力？一个方法是看看这个力是不是某个标量函数的负的梯度，另外一个方法是对这个力的各分量求偏导。当然也可以由保守力定义来判断，将力沿连接初末位置的任意路径积分，看积分结果是不是只依赖于初末位置，或者沿任意闭合路径积分，看积分结果是不是0。
比如重力\(\vec{F}=-mg\hat{k}\)，弹簧 \(\vec{F}=-kx\hat{i}\)，三种判断方法都很方便，练习1中的力用偏导法或积分法很方便。
静电力是保守力
先讨论一个点电荷\(q\)产生的电场，另一点电荷\(q_0\)在此电场中受力为
\begin{equation*} \vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{qq_0}{r^2}\hat{r} \end{equation*}
在极坐标系中，容易看出，此力是如下函数的负的梯度
\begin{equation*} W(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{qq_0}{r}+C \end{equation*}
在极坐标系中，力的另外两个分量\(F_{\theta}=0\)，\(F_{\phi}=0\)，所以，用偏导法也容易看出两个点电荷之间的相互作用力为保守力。
积分法。如图，积分路径\(L\)为连接\(P\)和\(Q\)点的任意路径，点电荷\(q\)对点电荷\(q_0\)做功为
\begin{equation*} \begin{split} A_{PQ}=&\int_{L(P)}^{L(Q)}\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{l} =\int_{L(P)}^{L(Q)}F\cos\theta \mathrm dl= \int_{r_P}^{r_Q}F(r)dr\\ =&\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 }\left(\frac{1}{r_P}-\frac{1}{r_Q}\right) \end{split} \end{equation*}
所以，点电荷电场做功与路径无关。
对于任意带电体系，可以将其分割为许多点电荷，总电场是各个点电荷产生的电场的线性叠加。既然各点电荷的电场做功与路径无关，那么总电场做功也与路径无关，即静电力沿闭合路径做功为0：
\begin{equation*} \oint_L q_0\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}=0 \end{equation*}
也即
\begin{equation*} \oint_L \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{l}=0 \end{equation*}
所以，静电场的环量恒等于0，这个结论叫做静电场的环路定理。
电势
做功与路径无关的力场称为保守力场，或势场。根据前述讨论，静电场是一种保守力场，静电力一定是势能函数的负的梯度：
\begin{equation*} q_0\vec{E}=-\nabla W \end{equation*}
即
\begin{equation*} \vec{E}=-\frac{1}{q_0}\nabla W =-\nabla U \end{equation*}
标量函数\(U\)称为电势。
点电荷的电势为
\begin{equation*} U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 }\frac{q}{r}+C \end{equation*}
在静电场中，点电荷\(q_0\)从空间\(P\)点运动到\(Q\)点，静电力做功等于电势能的减少
\begin{equation*} W_{PQ} = A_{PQ} = q_0\int_P^Q\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}
这个积分无需指明路径，因为结果与具体路径无关。
定义电势差
\begin{equation*} U_{PQ}=\frac{W_{PQ}}{q_0} = \int_P^Q\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}
电势差为移动单位正电荷时电场力所做的功。
电势为0的点需要人为选定，选定之后，\(P\)点的电势就是电势差\(U_{P,ref}\)
\begin{equation*} U(P)=U_{P,ref}=\int_P^{ref}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}
空间两点之间的电势差为：
\begin{equation*} \begin{split} U_{PQ}=&\int_P^{ref}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}+\int_{ref}^Q\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=\int_P^{ref}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}-\int_Q^{ref}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}\\ =&U(P)-U(Q) \end{split} \end{equation*}
对于电荷分布在有限区域的体系，一般选无限远处为电势为0的点，\(P\)点的电势为
\begin{equation*} U(P)=U_{P\infty}=\int_P^{\infty}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}
在国际单位制中，电势或电势差的单位为\(\mathrm{J/C}\)，这个单位有个专门的名称，叫做伏特，简称伏，符号\(\mathrm V\)。
\begin{equation*} 1\mathrm V=1\mathrm{J/C} \end{equation*}
根据电势也可以给出一个新的电场强度的单位\(\mathrm{V/m}\)，\(1\mathrm{V/m}=1\mathrm{N/C}\)
电势的计算
对于点电荷，以无限远处为0电势参考点，则距离点电荷\(r\)处的电势为：
\begin{equation*} U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} \end{equation*}
对于点电荷系，
\begin{equation*} U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{r_i} \end{equation*}
对于连续带电体，
\begin{equation*} U(r)=\int \mathrm dU=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm dq}{r} \end{equation*}
如果已知电荷体系的电场分布，也可根据电势与电场的积分关系求电势：
\begin{equation*} U(P)=\int_P^{'0'}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} \end{equation*}
如果求得电势分布，也可以根据电势与电场的微分关系求电场分布：
\begin{equation*} \vec{E}=-\nabla U \end{equation*}
例1 求均匀带电圆环轴线上电势分布。
求均匀带电圆环轴线上电势分布
设圆环带电量为\(q\)，半径为\(R\)，圆环轴线上距离圆环中心\(x\)处电势为
\begin{equation*} U(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm dq}{\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{R^2+x^2}} \end{equation*}
例2 求带电圆盘轴线上电势分布。
将圆盘分割成一系列圆环，以这些圆环为元电荷，则轴线上距离圆盘\(x\)处电势为：
\begin{equation*} U(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R\frac{\sigma 2\pi r\mathrm dr}{\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left (\sqrt{R^2+x^2}-x\right ) \end{equation*}
例3 求均匀带电球壳的电势分布。
设球壳的电量为\(Q\)，半径为\(R\)，我们知道距离球壳中心\(r\)处的电场为
\begin{equation*} E(r) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon\_0}\frac{Q}{r^2},& r\gt R \\ 0, & r \lt R \end{cases} \end{equation*}
球壳外电势
\begin{equation*} U(r)=\int_r^{\infty}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{\infty}\frac{\mathrm dr}{r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r} \end{equation*}
球壳内电势
\begin{equation*} U(r)=\int_r^{\infty}\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l}=\int_r^{R}E\mathrm dr+\int_R^{\infty}E\mathrm dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_R^{\infty}\frac{\mathrm dr}{r^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} \end{equation*}
综上，带电球壳的电势分布为
\begin{equation*} U(r) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}, &r \gt R \\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R}, & r\lt R \end{cases} \end{equation*}
即在在球壳外，电势分布与点电荷电势分布相同，在球壳内电势为常量，其值为球壳表面处电势。
均匀带电球壳的电势分布
例3 求电偶极子的电场。
设电偶极子电矩为\(p=ql\)，场点\(P\)距离正负电荷和电偶极子中心的距离分别为\(r_+\)、\(r_-\)和\(r\)。如图所示。
电偶极子电势
场点\(P\)与电偶极子中心的连线与电偶极矩\(\vec{p}\)的夹角为\(\theta\)，根据几何关系，有
\begin{equation*} \begin{split} r_+=&\sqrt{r^2-lr\cos\theta+\frac{l^2}{4}}\approx r\sqrt{1-\frac{l}{r}\cos\theta}\approx r-\frac{l}{2}\cos\theta \\ r_-=&\sqrt{r^2+lr\cos\theta+\frac{l^2}{4}}\approx r\sqrt{1+\frac{l}{r}\cos\theta}\approx r+\frac{l}{2}\cos\theta \end{split} \end{equation*}
场点\(P\)处电势\(U\)为正负电荷的电势\(U_+\)和\(U_-\)的代数和，即
\begin{equation*} U=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r+}-\frac{1}{r_-}\right)\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ql\cos\theta}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2} \end{equation*}
对电势求梯度，即可得场强分布。
\begin{equation*} \begin{cases} E_r=-\frac{\partial U}{\partial r} \\ E_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta} \\ E_{\phi}=-\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial \phi} \end{cases} \end{equation*}
等势面
把静电场中电势相等的点连起来组成的面称为等势面，比如点电荷的等势面为以点电荷为中心的同心球面。
等势面具有如下性质：
(1) 等势面与电场线处处垂直。
电场与等势面垂直
如图，一试探电荷\(q_0\)沿等势面做一任意元位移\(\mathrm d\vec{l}\)，则电场力做功为 \(\vec{E}\cdot \mathrm d\vec{l} = E\mathrm dl\cos\theta =0\)，于是\(\cos\theta =0\)，即电场与等势面垂直。
(2) 等势面密集的地方场强大，等势面稀疏的地方场强小。
画等势面的时候规定，任意相邻等势面的差值为一恒量。
相邻等势面差值为\(\Delta U\)，垂直距离\(\Delta n\)，电场强度\(E=\left |\frac{\Delta U}{\Delta n}\right |\)，可见等势面的疏密可以反映场强的大小。
作业
- 习题 1-26
- 求均匀带电球体的电势分布。
参考资料
- 《费曼物理学讲义》第13、14章
- 耶鲁大学Shankar 《基础物理II》视频
- 赵凯华《电磁学》