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课程1-神经网络和深度学习—第2周-具有神经网络思维的Logistic回归

yangdd 原文

题目

建立一个逻辑回归分类器来识别猫。这个作业将帮助你了解如何使用神经网络思维方式来做这件事，也将磨练你对深度学习的直觉。

注意：开始之前要下载好所需资料，然后将文件解压到你的代码文件同一级目录下,要确保代码的同一级目录下有lr_utils.py和datasets文件夹。

编程

1 - Packages

在开始之前，我们有需要引入的库：

  • numpy ：是用Python进行科学计算的基本软件包。
  • h5py：是与H5文件中存储的数据集进行交互的常用软件包。
  • matplotlib：是一个著名的库，用于在Python中绘制图表。
  • lr_utils ：在本文的资料包里，这是一个加载资料包里面的数据的简单功能的库。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import h5py
from lr_utils import load_dataset

其中 lr_utils.py 代码如下，可以自行打开它查看：

import numpy as np
import h5py
    
    
def load_dataset():
    train_dataset = h5py.File('datasets/train_catvnoncat.h5', "r")
    train_set_x_orig = np.array(train_dataset["train_set_x"][:]) # your train set features
    train_set_y_orig = np.array(train_dataset["train_set_y"][:]) # your train set labels

    test_dataset = h5py.File('datasets/test_catvnoncat.h5', "r")
    test_set_x_orig = np.array(test_dataset["test_set_x"][:]) # your test set features
    test_set_y_orig = np.array(test_dataset["test_set_y"][:]) # your test set labels

    classes = np.array(test_dataset["list_classes"][:]) # the list of classes
    
    train_set_y_orig = train_set_y_orig.reshape((1, train_set_y_orig.shape[0]))
    test_set_y_orig = test_set_y_orig.reshape((1, test_set_y_orig.shape[0]))
    
    return train_set_x_orig, train_set_y_orig, test_set_x_orig, test_set_y_orig, classes

解释一下上面的 load_dataset() 返回的值的含义：

  • train_set_x_orig ：保存的是训练集里面的图像数据（本训练集有209张64x64的图像）。
  • train_set_y_orig ：保存的是训练集的图像对应的分类值（【0 | 1】，0表示不是猫，1表示是猫）。
  • test_set_x_orig ：保存的是测试集里面的图像数据（本训练集有50张64x64的图像）。
  • test_set_y_orig ： 保存的是测试集的图像对应的分类值（【0 | 1】，0表示不是猫，1表示是猫）。
  • classes ： 保存的是以bytes类型保存的两个字符串数据，数据为：classes[0] = b’non-cat’；classes[1] = b’cat’。

2 - Overview of the Problem set

现在我们就要把这些数据加载到主程序里面：

train_set_x_orig , train_set_y , test_set_x_orig , test_set_y , classes = load_dataset()
train_set_x_orig.shape, train_set_y.shape, test_set_x_orig.shape, test_set_y.shape

  • 可以看到每个图像的shape是（num_px，num_px，3），其中3个通道（RGB）。因此，每个图像都是正方形（height=num_px）和（width=num_px）。
  • 之所以在图像数据集（训练和测试）的末尾添加了“_orig”，是因为因为我们要对它们进行预处理。在预处理之后，我们将最终得到train_set_x和test_set_x（标签train_set_y和test_set_y不需要任何预处理）。
  • train_set_x_orig和test_set_x_orig的每一行都是一个表示图像的数组。用如下代码可以查看一下训练集里面的图片，可以改变index的值查看一下其他的图片。
index = 50
plt.imshow(train_set_x_orig[index])
#print("train_set_y=" + str(train_set_y)) #看一下训练集里面的标签是什么样的。


#打印出当前的训练标签值
#使用np.squeeze的目的是压缩维度，【未压缩】train_set_y[:,index]的值为[1] , 【压缩后】np.squeeze(train_set_y[:,index])的值为1
# print("【使用np.squeeze：" + str(np.squeeze(train_set_y[:,index])) + "，不使用np.squeeze： " + str(train_set_y[:,index]) + "】")
# 【使用np.squeeze：1，不使用np.squeeze： [1]】
#只有压缩后的值才能进行解码操作
print("y=" + str(train_set_y[:,index]) + ", it's a " + classes[np.squeeze(train_set_y[:,index])].decode("utf-8") + "' picture")

对以下参数做出解释：

  • m_train ：训练集里图片的数量。
  • m_test ：测试集里图片的数量。
  • num_px ： 训练、测试集里面的图片的宽度和高度（均为64x64）。

train_set_x_orig 是一个维度为(m_train，num_px，num_px，3）的数组。

m_train = train_set_y.shape[1] #训练集里图片的数量。
m_test = test_set_y.shape[1] #测试集里图片的数量。
num_px = train_set_x_orig.shape[1] #训练、测试集里面的图片的宽度和高度（均为64x64）。

#现在看一看我们加载的东西的具体情况
print ("训练集的数量: m_train = " + str(m_train))
print ("测试集的数量 : m_test = " + str(m_test))
print ("每张图片的宽/高 : num_px = " + str(num_px))
print ("每张图片的大小 : (" + str(num_px) + ", " + str(num_px) + ", 3)")
print ("训练集_图片的维数 : " + str(train_set_x_orig.shape))
print ("训练集_标签的维数 : " + str(train_set_y.shape))
print ("测试集_图片的维数: " + str(test_set_x_orig.shape))
print ("测试集_标签的维数: " + str(test_set_y.shape))

  • 为了方便，要把维度为（64，64，3）的numpy数组重新构造为（64 x 64 x 3，1）的数组，要乘以3的原因是每张图片是由64x64像素构成的，而每个像素点由（R，G，B）三原色构成的，所以要乘以3。
  • 在此之后，训练和测试数据集是一个numpy数组，【每列代表一个平坦的图像】 ，应该有m_train和m_test列。
  • 当想将形状（a，b，c，d）的矩阵X平铺成形状（b * c * d，a）的矩阵X_flatten时，可以使用以下代码：
# X_flatten = X.reshape(X.shape [0]，-1).T ＃X.T是X的转置

#将训练集的维度降低并转置。
train_set_x_flatten  = train_set_x_orig.reshape(train_set_x_orig.shape[0],-1).T
#将测试集的维度降低并转置。
test_set_x_flatten = test_set_x_orig.reshape(test_set_x_orig.shape[0], -1).T
  • 意思是指把数组变为209行的矩阵（因为训练集里有209张图片），但是懒得算列有多少，于是我就用-1告诉程序你帮我算，最后程序算出来时12288列，我再最后用一个T表示转置，这就变成了12288行，209列。
  • 测试集亦如此。
  • 看看降维之后的情况：
print ("训练集降维最后的维度： " + str(train_set_x_flatten.shape))
print ("训练集_标签的维数 : " + str(train_set_y.shape))
print ("测试集降维之后的维度: " + str(test_set_x_flatten.shape))
print ("测试集_标签的维数 : " + str(test_set_y.shape))

  • 为了表示彩色图像，必须为每个像素指定红色，绿色和蓝色通道（RGB），因此像素值实际上是从0到255范围内的三个数字的向量。
  • 机器学习中一个常见的预处理步骤是对数据集进行居中和标准化，这意味着可以减去每个示例中整个numpy数组的平均值，然后将每个示例除以整个numpy数组的标准偏差。
  • 但对于图片数据集，它更简单，更方便，几乎可以将数据集的每一行除以255（像素通道的最大值），因为在RGB中不存在比255大的数据，所以我们可以放心的除以255，让标准化的数据位于[0,1]之间。
  • 现在标准化我们的数据集：
train_set_x = train_set_x_flatten / 255
test_set_x = test_set_x_flatten / 255

3 - General Architecture of the learning algorithm

  • 现在已经把加载的数据弄完了，现在开始构建神经网络来区分猫的图像和非猫的图像。
  • 将建立一个逻辑回归，使用神经网络。下图解释了为什么逻辑回归实际上是一个非常简单的神经网络！

  • 算法的数学表达式：

[z^{(i)}= omega^Tx^{(i)}+b ag{1} ]

[hat{y}^{(i)}=a^{(i)}=sigmoid(z^{(i)}) ag{2} ]

[mathcal{L}(a^{(i)},y^{(i)})=-y^{(i)}log(a^{(i)})-(1-y^{(i)})log(1-a^{(i)}) ag{3} ]

  • 然后通过对所有训练样例求和来计算成本:

[J=sum_{i=1}^{m}mathcal{L}(a^{(i)},y^{(i)}) ag{4} ]

  • 关键步骤——在本练习中，将执行以下步骤：
    • 初始化模型的参数
    • 通过最小化成本学习模型的参数
    • 使用学习到的参数进行预测（在测试集上）
    • 分析结果并得出结论

4 - Building the parts of our algorithm

  • 建立神经网络的主要步骤是：
    • 定义模型结构（例如输入特征的数量）
    • 初始化模型的参数
    • 循环：
      • 计算当前损失（正向传播）
      • 计算当前梯度（反向传播）
      • 更新参数（梯度下降）
    • 使用学习到的参数进行预测（在测试集上）
    • 分析结果并得出结论

4.1 - Helper functions

现在构建 (sigmoid()) ,需要使用 $ sigmoid（w ^ T x + b）$ 计算来做出预测。

def sigmoid(z):
    """
    参数：
        z  - 任何大小的标量或numpy数组。
    
    返回：
        s  -  sigmoid（z）
    """
    s = 1 / (1 + np.exp(-z))
    return s

4.2 - Initializing parameters

现在就可以初始化我们需要的参数w和b了。

def initialize_with_zeros(dim):
    """
        此函数为w创建一个维度为（dim，1）的0向量，并将b初始化为0。
        
        参数：
            dim  - 我们想要的w矢量的大小（或者这种情况下的参数数量）
        
        返回：
            w  - 维度为（dim，1）的初始化向量。
            b  - 初始化的标量（对应于偏差）
    """
    w = np.zeros(shape = (dim,1))
    b = 0
    #使用断言来确保我要的数据是正确的
    assert(w.shape == (dim, 1)) #w的维度是(dim,1)
    assert(isinstance(b, float) or isinstance(b, int)) #b的类型是float或者是int
    
    return (w , b)

4.3 - Forward and Backward propagation

初始化参数的函数已经构建好了，现在就可以执行“前向”和“后向”传播步骤来学习参数。
我们现在要实现一个计算成本函数及其渐变的函数propagate（）。

  • 逻辑回归的向量化表示

[Z=[z^{(1)},z^{(2)},dots,z^{(m)}]=omega^TX+[b,b,dots,b]=np.dot(w.T,X) + b ag{1*m} ]

[A=[a^{(1)},a^{(2)},dots,a^{(m)}]=sigmoid(Z) ag{1*m} ]

[dZ=[dz^{(1)},dz^{(2)},dots,dz^{(m)}] = A-Y ag{1*m} ]

[domega=frac1mXdZ^T=(1 / m) * np.dot(X, (A - Y).T) ag{n*1} ]

[db=frac1msum_{i=1}^mdz^{(i)}=(1 / m) * np.sum(A - Y) ag{R} ]

def propagate(w, b, X, Y):
	"""
    实现前向和后向传播的成本函数及其梯度。
    参数：
        w  - 权重，大小不等的数组（num_px * num_px * 3，1）
        b  - 偏差，一个标量
        X  - 矩阵类型为（num_px * num_px * 3，训练数量）
        Y  - 真正的“标签”矢量（如果非猫则为0，如果是猫则为1），矩阵维度为(1,训练数据数量)

    返回：
        cost- 逻辑回归的负对数似然成本
        dw  - 相对于w的损失梯度，因此与w相同的形状
        db  - 相对于b的损失梯度，因此与b的形状相同
    """
	m = X.shape[1]
    
    #正向传播
    A = sigmoid(np.dot(w.T,X) + b) #计算激活值，请参考公式2。
    cost = (- 1 / m) * np.sum(Y * np.log(A) + (1 - Y) * (np.log(1 - A))) #计算成本，请参考公式3和4。
    
    #反向传播
    dw = (1 / m) * np.dot(X, (A - Y).T) #请参考视频中的偏导公式。
    db = (1 / m) * np.sum(A - Y) #请参考视频中的偏导公式。
	
	#使用断言确保数据是正确的
    assert(dw.shape == w.shape)
    assert(db.dtype == float)
    cost = np.squeeze(cost)
    assert(cost.shape == ())
    
    #创建一个字典，把dw和db保存起来。
    grads = {
                "dw": dw,
                "db": db
             }
    return (grads , cost)

4.4 - Optimization

  • 现在要使用梯度下降更新参数。
  • 目标是通过最小化成本函数 (J)来学习 (omega)和(b)。对于参数 ( heta)，更新规则是 $ heta = heta - alpha ext{ } d heta(，其中)alpha$是学习率。
def optimize(w , b , X , Y , num_iterations , learning_rate , print_cost = False):
    """
    此函数通过运行梯度下降算法来优化w和b
    
    参数：
        w  - 权重，大小不等的数组（num_px * num_px * 3，1）
        b  - 偏差，一个标量
        X  - 维度为（num_px * num_px * 3，训练数据的数量）的数组。
        Y  - 真正的“标签”矢量（如果非猫则为0，如果是猫则为1），矩阵维度为(1,训练数据的数量)
        num_iterations  - 优化循环的迭代次数
        learning_rate  - 梯度下降更新规则的学习率
        print_cost  - 每100步打印一次损失值
    
    返回：
        params  - 包含权重w和偏差b的字典
        grads  - 包含权重和偏差相对于成本函数的梯度的字典
        costs - 优化期间计算的所有成本列表，将用于绘制学习曲线。
    
    提示：
    我们需要写下两个步骤并遍历它们：
        1）计算当前参数的成本和梯度，使用propagate（）。
        2）使用w和b的梯度下降法则更新参数。
    """
    
    costs = []
    
    for i in range(num_iterations):
        
        grads, cost = propagate(w, b, X, Y)
        
        dw = grads["dw"]
        db = grads["db"]
        
        w = w - learning_rate * dw
        b = b - learning_rate * db
        
        #记录成本
        if i % 100 == 0:
            costs.append(cost) #append()函数用于在列表末尾添加新的对象。
        #打印成本数据
        if (print_cost) and (i % 100 == 0):
            print("迭代的次数: %i ， 误差值： %f" % (i,cost))
        
    params  = {
                "w" : w,
                "b" : b }
    grads = {
            "dw": dw,
            "db": db } 
    return (params , grads , costs)

4.5 - Predict

  • 上一步中的optimize函数会输出已学习的w和b的值，我们可以使用w和b来预测数据集X的标签。
  • 现在我们要实现预测函数predict（）。计算预测有两个步骤：
    1. (hat{Y}=A=sigma( omega^TX+b))
    2. 将a的值变为0（如果激活值<= 0.5）或者为1（如果激活值> 0.5）
  • 然后将预测值存储在向量Y_prediction中。
def predict(w , b , X ):
    """
    使用学习逻辑回归参数logistic （w，b）预测标签是0还是1，
    
    参数：
        w  - 权重，大小不等的数组（num_px * num_px * 3，1）
        b  - 偏差，一个标量
        X  - 维度为（num_px * num_px * 3，训练数据的数量）的数据
    
    返回：
        Y_prediction  - 包含X中所有图片的所有预测【0 | 1】的一个numpy数组（向量）
    
    """
    
    m  = X.shape[1] #图片的数量
    Y_prediction = np.zeros((1,m)) 
    w = w.reshape(X.shape[0],1)
    
    #计预测猫在图片中出现的概率
    A = sigmoid(np.dot(w.T , X) + b)
    for i in range(A.shape[1]):
        #将概率 a [0，i]转换为实际预测 p [0，i]
        Y_prediction[0,i] = 1 if A[0,i] > 0.5 else 0
    #使用断言
    assert(Y_prediction.shape == (1,m))
    
    return Y_prediction

5 - Merge all functions into a model

  • 现在要把这些函数统统整合到一个model()函数中，届时只需要调用一个model()就基本上完成所有的事了。
  • 实现模型功能。使用以下符号：
    • Y_prediction_test：在测试集上的预测
    • Y_prediction_train：在训练集上的预测
    • w, costs, grads：optimize()函数的输出
def model(X_train , Y_train , X_test , Y_test , num_iterations = 2000 , learning_rate = 0.5 , print_cost = False):
    """
    通过调用之前实现的函数来构建逻辑回归模型
    
    参数：
        X_train  - numpy的数组,维度为（num_px * num_px * 3，m_train）的训练集
        Y_train  - numpy的数组,维度为（1，m_train）（矢量）的训练标签集
        X_test   - numpy的数组,维度为（num_px * num_px * 3，m_test）的测试集
        Y_test   - numpy的数组,维度为（1，m_test）的（向量）的测试标签集
        num_iterations  - 表示用于优化参数的迭代次数的超参数
        learning_rate  - 表示optimize（）更新规则中使用的学习速率的超参数
        print_cost  - 设置为true以每100次迭代打印成本
    
    返回：
        d  - 包含有关模型信息的字典。
    """
    w , b = initialize_with_zeros(X_train.shape[0])
    
    parameters , grads , costs = optimize(w , b , X_train , Y_train , num_iterations , learning_rate , print_cost)
    
    #从字典“参数”中检索参数w和b
    w , b = parameters["w"] , parameters["b"]
    
    #预测测试/训练集的例子
    Y_prediction_test = predict(w , b, X_test)
    Y_prediction_train = predict(w , b, X_train)
    
    #打印训练后的准确性
    #abs()函数用于返回数字的绝对值
    print("训练集准确性："  , format(100 - np.mean(np.abs(Y_prediction_train - Y_train)) * 100) ,"%")
    print("测试集准确性："  , format(100 - np.mean(np.abs(Y_prediction_test - Y_test)) * 100) ,"%")
    
    d = {
            "costs" : costs,
            "Y_prediction_test" : Y_prediction_test,
            "Y_prediciton_train" : Y_prediction_train,
            "w" : w,
            "b" : b,
            "learning_rate" : learning_rate,
            "num_iterations" : num_iterations }
    return d

把整个model构建好之后我们这就算是正式的实际测试了，来实际跑一下。

print("====================测试model====================")     
#这里加载的是真实的数据，请参见上面的代码部分。
d = model(train_set_x, train_set_y, test_set_x, test_set_y, num_iterations = 2000, learning_rate = 0.005, print_cost = True)

如果更改一下学习率和迭代次数，有可能会发现训练集的准确性可能会提高，但是测试集准确性会下降，这是由于过拟合造成的，但是并不需要担心，以后会使用更好的算法来解决这些问题的。

  • 使用下面的代码（并更改索引变量），您可以查看测试集图片上的预测。
  • 这里的classes的类型是dtype=’|S7’ ，取值的时候，需要用int强转一下，否则报错。（不太懂）
index = 32
plt.imshow(test_set_x[:,index].reshape((num_px, num_px, 3)))
print ("y = " + str(test_set_y[0,index]) + ", you predicted that it is a "" + classes[int(d["Y_prediction_test"][0,index])].decode("utf-8") +  "" picture.")

  • 可以在后面加一点东西，绘制成本函数和梯度的图像。可以看到成本下降，它显示参数正在被学习：
#绘制图
costs = np.squeeze(d['costs'])
plt.plot(costs)
plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations (per hundreds)')
plt.title("Learning rate =" + str(d["learning_rate"]))
plt.show()

6 - Further analysis (optional/ungraded exercise)

  • 进一步分析一下，并研究学习率alpha的可能选择。为了让渐变下降起作用，我们必须明智地选择学习速率。
  • 学习率(alpha)决定了我们更新参数的速度。如果学习率过高，我们可能会“超过”最优值。同样，如果它太小，我们将需要太多迭代才能收敛到最佳值。这就是为什么使用良好调整的学习率至关重要的原因。
  • 可以比较一下模型的学习曲线和几种学习速率的选择。也可以尝试使用不同于我们初始化的learning_rates变量包含的三个值，看一下会发生什么。
learning_rates = [0.01, 0.001, 0.0001]
models = {}
for i in learning_rates:
    print ("learning rate is: " + str(i))
    models[str(i)] = model(train_set_x, train_set_y, test_set_x, test_set_y, num_iterations = 1500, learning_rate = i, print_cost = False)
    print ('
' + "-------------------------------------------------------" + '
')

for i in learning_rates:
    plt.plot(np.squeeze(models[str(i)]["costs"]), label= str(models[str(i)]["learning_rate"]))

plt.ylabel('cost')
plt.xlabel('iterations')

#设置图例
#图例legen()函数，参数loc图例所有figure位置；参数shadow控制是否在图例后面画一个阴影
legend = plt.legend(loc='upper center', shadow=True)
frame = legend.get_frame()
frame.set_facecolor('0.90') #设置图例legend背景
plt.show()

  • 不同的学习率会产生不同的成本，从而产生不同的预测结果。
  • 如果学习率太大（0.01），则成本可能上下波动。它甚至可能会发散（尽管在本例中，使用0.01最终还是会得到很好的成本值）。
  • 低成本并不意味着更好的模式。你得检查一下是否有过拟合的可能。当训练精度远高于测试精度时就会发生这种情况。
  • 在深入学习中，我们通常建议您：
    • 选择可以更好地最小化成本函数的学习率。
    • 如果您的模型过拟合，请使用其他技术来减少过拟合。（我们将在以后的视频中讨论这个问题。）

知识点整理

  • 预处理新数据集的常见步骤：
    • 找出问题的尺寸和形状（m_-train，m_-test，num_-px，…）
    • 重新调整数据集的形状，使每个示例现在都是一个大小向量（num-pxnum-px3，1）
    • “标准化”数据
  • 算法的数学表达式：

[z^{(i)}= omega^Tx^{(i)}+b ag{1} ]

[hat{y}^{(i)}=a^{(i)}=sigmoid(z^{(i)}) ag{2} ]

[mathcal{L}(a^{(i)},y^{(i)})=-y^{(i)}log(a^{(i)})-(1-y^{(i)})log(1-a^{(i)}) ag{3} ]

  • 然后通过对所有训练样例求和来计算成本：

[J=sum_{i=1}^{m}mathcal{L}(a^{(i)},y^{(i)}) ag{4} ]

  • 逻辑回归的向量化表示

[Z=[z^{(1)},z^{(2)},dots,z^{(m)}]=omega^TX+[b,b,dots,b]=np.dot(w.T,X) + b ag{1*m} ]

[A=[a^{(1)},a^{(2)},dots,a^{(m)}]=sigmoid(Z) ag{1*m} ]

[dZ=[dz^{(1)},dz^{(2)},dots,dz^{(m)}] = A-Y ag{1*m} ]

[domega=frac1mXdZ^T=(1 / m) * np.dot(X, (A - Y).T) ag{n*1} ]

[db=frac1msum_{i=1}^mdz^{(i)}=(1 / m) * np.sum(A - Y) ag{R} ]

  • 建立神经网络的主要步骤是：
    • 定义模型结构（例如输入特征的数量）
    • 初始化模型的参数
    • 循环：
      • 计算当前损失（正向传播）
      • 计算当前梯度（反向传播）
      • 更新参数（梯度下降）
    • 使用学习到的参数进行预测（在测试集上）
    • 分析结果并得出结论

遇到的问题

  • 吴恩达的《深度学习》作业包解压缩之后需要将lr_utils.py文件导入当前的编译环境。
  • lr_utils不是库而是一个文件。它不需要安装，只需要导入到当前编译器就行。

参考博客

【中文】【吴恩达课后编程作业】Course 1 - 神经网络和深度学习 - 第二周作业

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