5. 量子测量

5.1 一般测量

测量是了解量子系统的实验手段.

设测量前的状态为\(|\Phi \rang= \sum_{i=1}^{n} a_i|x_i\rang\)，其中，\(\sum_i^n a_i = 1\), \(|x_1\rang, |x_2\rang, \cdots, |x_n\rang\) 是一组正交规一基. 且\(\lang \Phi | \Phi \rang = 1\). 量子测量用测量算符的集合\(\{{M_i} \}\) 来描述. 经测量算符\(M_i\) 作用后, 得到的结果记为\(i\)，其概率是 \(p(i) = \lang \Phi|M_i^{\dagger}M_i | \Phi \rang\). 式中，\(M_i^\dagger\) 是\(M_i\) 的转置共轭. 由于概率的归一性，\(\sum_i p(i) = \sum_i \lang \Phi|M_i^{\dagger}M_i | \Phi \rang = \lang \Phi| \Big(\sum_i M_i^{\dagger}M_i \Big) | \Phi \rang = 1\). 由于\(\lang \Phi | \Phi \rang = 1\)，所以\(\sum_i M_i^{\dagger}M_i = I\). 式中\(I\) 是恒等算符. 这就是完备性条件.

测量后的量子态\(|\Phi^{’} \rang = \gamma M_i |\Phi \rang, \gamma\) 是一个复数. 为了满足归一性，即 \(\lang\Phi^{'}| \Phi^{'} \rang =1\). \(\lang\Phi^{'}| \Phi^{'} \rang = \Big(| \Phi^{'} \rang\Big)^\dagger | \Phi^{'} \rang= \lang \Phi| \gamma^* M_i^\dagger M_i \gamma | \Phi \rang = |\gamma|^2 \lang \Phi| M_i^\dagger M_i| \Phi \rang = |\gamma|^2 p(i) = 1.\) 因此，\(|\gamma| = \frac{1}{\sqrt{p(i)}}\)，即

\(\gamma = e^{i\delta} / \sqrt{p(i)}.\) 不考虑相位，\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{p(i)}} = \frac{1}{\sqrt{\lang \Phi|M_i^{\dagger}M_i | \Phi \rang }}\). 所以测量后的状态\(|\Phi^{'} \rang\)为\(|\Phi^{'} \rang = \frac{M_i |\Phi \rang}{\sqrt{\lang \Phi|M_i^{\dagger}M_i | \Phi \rang }}\), 相应的概率为 \(p(i) = \lang \Phi|M_i^{\dagger}M_i | \Phi \rang\).

小结：一般测量的测量算子 \(M_i\) 只需满足完备性条件，即\(\sum_i M_i^{\dagger}M_i =I\), 式中\(I\) 是恒等算符.

5.2 投影测量

一般测量中对于测量算符 \(M_i\) 没有特殊要求，只要满足完备性条件 \(\sum_i M_i^{\dagger}M_i =I\). 投影测量是一种特殊的一般测量. 增加了对测量算子 \(M_i\) 的约束，即要求总的测量算子 \(M=\sum_{i=1}^n \lambda_i M_i= \sum_{i=1}^n \lambda_i |x_i\rang \lang x_i|\)，即\(M_i = |x_i\rang \lang x_i|\). 其中，\(\lambda_i\) 是\(M\) 的本征值且为实数，\(|x_1\rang, |x_2\rang, \cdots, |x_n\rang\) 是一组正交规一基. 也就是说，投影测量中要求总测量算子 \(M\) 是厄米算子(也就是正规算子+本征值为实数). 因为只有正规算子\((AA^\dagger = A^\dagger A)\) 才可以对角化和谱分解， 本征值为实数的算子为厄米算子. 下面具体分析.

首先来证明投影测量属于一般测量，即证明满足完备性条件 \(\sum_{i=1}^{n} M_i^{\dagger}M_i =I\).

设测量前的状态为\(|\Phi \rang= \sum_{i=1}^{n} a_i|x_i\rang\)，其中，\(\sum_i^n a_i = 1\), \(|x_1\rang, |x_2\rang, \cdots, |x_n\rang\) 是一组正交规一基. 且\(\lang \Phi | \Phi \rang = 1\).

\(M_i = |x_i\rang \lang x_i|\), \(M_i^\dagger = |x_i\rang \lang x_i|\), \(M_i^{\dagger}M_i = |x_i\rang \lang x_i|x_i\rang \lang x_i| = |x_i\rang \lang x_i|=M_i\).

因此 \(\sum_{i=1}^n M_i^{\dagger}M_i = \sum_{i=1}^n |x_i \rang \lang x_i|= I\) 满足完备性条件，证明确实是一个测量. 那投影测量还有什么特殊性质呢？假设经测量算符\(M_1\)作用后, 得到的结果记为\(\lambda_1\)，其概率是

\(p(\lambda_1)= \lang \Phi|M_1^{\dagger}M_1 | \Phi \rang = \sum_{i=1}^{n} a_i^* \lang x_i| x_1\rang \lang x_1|x_1\rang \lang x_1| \sum_{i=1}^{n}a_i|x_i\rang \\= \sum_{i=1}^{n}a_i^* \lang x_i| x_1\rang \sum_{i=1}^{n}a_i\lang x_1|x_i\rang = a_1^* a_1 = |a_1|^2\)

经测量算符\(M_1\)作用后的状态为\(|\Phi^{'}\rang = \gamma M_1 |\Phi \rang\)， 为了保证归一性，\(\lang\Phi^{'}|\Phi^{'}\rang=1\)

即\(\lang\Phi^{'}|\Phi^{'}\rang = \lang \Phi| \gamma^* M_1^{\dagger} M_1 \gamma|\Phi \rang = |\gamma|^2 \lang \Phi|M_1^{\dagger}M_1 | \Phi \rang = |\gamma|^2 p(\lambda_1)=1\)，即\(\gamma = 1/ \sqrt{p(\lambda_1)}\). 所以经测量算符\(M_1\)作用后的状态 \(|\Phi^{'}\rang\)

\(|\Phi^{'}\rang = \frac{M_1 |\Phi \rang}{\sqrt{p(\lambda_1)}}=\frac{|x_1\rang \lang x_1| \sum_{i=1}^{n} a_i|x_i\rang}{|a_1|} = \frac{|x_1\rang \sum_{i=1}^{n} a_i\lang x_1|x_i\rang}{|a_1|} = \frac{a_1}{|a_1|} |x_1\rang = |x_1\rang\)

更一般地，用测量算符\(M_i = |x_i\rang \lang x_i|\) 测量状态\(|\Phi \rang= \sum_{i=1}^{n} a_i|x_i\rang\) ，将以概率\(p(\lambda_i) = \lang \Phi|M_i^{\dagger}M_i | \Phi \rang = |a_i|^2\) 得到 \(i\)，并且测量后的状态变为\(|x_i\rang\). 注意到 \(M_i M_j = |x_i\rang \lang x_i|x_j \rang \lang x_j| = \delta_{ij} |x_i\rang \lang x_i| = \delta_{ij} M_i\)， 这是投影算子的正交条件.

特别地，如果量子系统在测量前处于某一本征矢量\(|x_i\rang\), 则经\(M_i\)作用后，测量结果是\(\lambda_i\) 的概率为1，测量后的状态仍然处于\(|x_i\rang\)；经\(M_j（j \neq i)\) 作用后，测量结果是\(\lambda_j\) 的概率为0.

一般情况下量子态在测量算符(厄米算符)的本征矢量空间中是各种可能的本征矢的线性组合，测量结果以不同概率取值为不同本征值，将测量结果的平均值记为\(\overline{M}\)， 则有

\(\overline{M} = \sum_{i=1}^{n} p(\lambda_i) \lambda_i = \sum_i \lambda_i p(\lambda_i) = \sum_i \lambda_i \lang \Phi|M_i^{\dagger}M_i |\Phi \rang \\= \lang \Phi | \Big(\sum_i \lambda_iM_i^{\dagger}M_i \Big)| \Phi \rang = \lang \Phi | \Big(\sum_i \lambda_i M_i \Big)| \Phi \rang = \lang \Phi | M | \Phi \rang\)

上式是一个很有用的公式， 可以很容易地计算投影测量的平均值. 经典力学量的测量值常对应于量子力学中厄米算符的平均值.

小结：投影测量是一种特殊的一般测量，除了需要满足一般测量的完备性条件 \(\sum_{i=1}^{n}M_i^{\dagger} M_i = I\), 还需要满足正交条件 \(M_i M_j = \delta_{ij} M_i\), 并且测量算符\(M_i\) 是厄米的，即\(M_i = M_i^\dagger\).

5.3 区分量子态

区分量子态可以通过一个包括Alice 和Bob 的双方游戏的类比来说明. Alice 从两人都知道的某个固定状态集合中选择一个状态\(|\psi_i \rang (1 \leq i \leq n)\), 她把\(|\psi_i \rang\) 交给Bob，Bob 的任务是找出Alice 给他状态的索引\(i\) .

设状态集是正交的，于是Bob 可以通过下面的过程做一个量子测量，来区分这些状态. 对每个索引\(i\) 定义一个测量算符\(M_i = |\psi_i \rang \lang \psi_i|\), \(M_i^\dagger = |\psi_i \rang \lang \psi_i|\), \(M_i^\dagger M_i = |\psi_i \rang \lang \psi_i|\psi_i \rang \lang \psi_i| =|\psi_i \rang \lang \psi_i|=M_i\), 再定义一个测量算子

\(M_0= \sqrt{I- \sum_{i \neq 0} M_i^\dagger M_i} = \sqrt{I- \sum_{i \neq 0} M_i}=\sqrt{I- \sum_{i \neq 0} |\psi_i \rang \lang \psi_i|}\). 很显然，这些算子满足完备性关系. 如果原来的状态是\(|\psi_i \rang\), 则用\(M_i\)测量结果为\(i\)的概率 \(p(i) = \lang \psi_i| M_i^\dagger M_i|\psi_i\rang =\lang \psi_i| M_i|\psi_i\rang =\lang \psi_i| \psi_i \rang \lang \psi_i |\psi_i\rang=1\), 而用\(M_j(j\neq i)\)测量结果为\(j\)的概率 \(p(j) = \lang \psi_i| M_j^\dagger M_j|\psi_i\rang =\lang \psi_i| M_j|\psi_i\rang =\lang \psi_i| \psi_j \rang \lang \psi_j |\psi_i\rang=0\). 也就是说可以可靠地区分正交状态集\(|\psi_i\rang.\)

与之对照，如果状态集\(|\psi_i \rang\) 不是正交的，那么可以证明没有量子测量可以区分这些状态. 核心思想是Bob用测量算符\(M_j\) 执行一次测量，输出结果为\(j\). 依赖于输出结果，Bob利用某些规则来猜测Alice 发送的索引\(i\)，\(i=f(j)\), \(f(\cdot)\) 代表猜测的规则. Bob 不能区分非正交态\(|\psi_1\rang\) 和 \(|\psi_2 \rang\) 的关键是\(|\psi_2\rang\) 可以分解出一个平行于\(|\psi_1\rang\) 的非零分量和一个正交于\(|\psi_1\rang\) 的分量. 假设\(j\) 使得\(f(j)=1\), 也就是说，当Bob 观察到\(j\), 他就猜状态为\(|\psi_1 \rang\). 但是因为\(|\psi_2 \rang\) 有分量平行于\(|\psi_1\)，因此即使原来的状态是\(|\psi_2 \rang\), 也有非零的概率得到输出\(j.\) 原来的状态是\(|\psi_2 \rang\) 的分析类似. 因此Bob在识别原来的状态是哪个的时候有时会犯错误. 非正交状态不可区分的更严格的证明见下图.

5.4 POVM

量子测量假设包含两部分内容，一个是给出了一个描述测量统计特性的规则，即不同测量结果的概率；另一个给出了描述测量后状态的规则. 然而，对于一些应用来说，对系统测量后的状态并不感兴趣，主要的兴趣在于分别得到不同测量结果的概率. 比如说，只在实验结束前执行一次测量. 半正定算子值测量 \(POVM (Positive~operator-valued~measure)\) 形式的数学工具特别适合分析这类情况的测量结果.

假设对量子系统的状态\(|\psi\rang\) 的一次测量被测量算符\(M_m\) 描述，得到输出结果\(m\) 的概率为\(p(m)=\lang \psi_| M_m^\dagger M_m|\psi\rang\). 定义\(E_m = M_m^\dagger M_m\). 由于\(p(m)=\lang \psi_| M_m^\dagger M_m|\psi\rang =\lang \psi_| E_m|\psi\rang \geq 0\), 所以\(E_m\) 是半正定算子. 根据概率和的归一性，所以有 \(\sum_{m}p(m) = \sum_{m}\lang \psi_| M_m^\dagger M_m|\psi\rang=\sum_{m}\lang \psi_| E_m|\psi\rang=\lang \psi_| \sum_{m}E_m|\psi\rang=1\)，所以\(\sum_{m}E_m = \sum_m M_m^\dagger M_m=I\), 满足完备性关系. 于是算子集合\(\{E_m\}\) 足以确定不同测量输出的概率. 算符\(E_m\) 称为于测量相联系的POVM元. 完整的集合\(\{E_m\}\) 称为一个POVM.

投影测量就是一个POVM 的例子. 考虑一个投影测量, \(P_m\)是测量算子，其满足\(P_mP_n=\delta_{mn}P_m\) 并且\(P_m^\dagger=P_m, P_m^\dagger P_m=P_m\), \(\sum_m P_m^\dagger P_m=\sum_m P_m=I.\) 在这个例子中(也仅在这个例子中)，所有的POVM元\(E_m\) 和测量算符\(P_m\) 一样，因为\(E_m =P_m^\dagger P_m=P_m.\)

注意：测量算子和POVM元一致的任何测量都是投影测量.

我们注意到POVM算子都是半正定的且满足\(\sum_m E_m=I.\) 现在假设\(\{E_m\}\) 是任意满足\(\sum_m E_m=I\)的半正定算子集合. 我们将证明存在一组测量算子\(M_m\) 定义了一个POVM \(E_m\). 定义\(M_m = \sqrt{E_m}\)，可得\(\sum_{m}M_m^\dagger M_m =\sum_{m}E_m=I\). 因此集合\(\{M_m\}\) 描述了一个具有POVM \(E_m\)的测量. 因此可以把POVM定义为任意满足如下条件的算子集合\(\{E_m\}\):

(a) 每个算符\(E_m\) 是半正定的；

(b) 表达概率和为1的完备性\(\sum_{m}E_m=I\) 成立.

强调一下，对给定的POVM \(E_m\), 输出结果为\(m\) 的概率为\(p(m)=\lang \psi|M_m^\dagger M_m|\psi\rang=\lang \psi|E_m|\psi\rang.\)

前面我们把投影测量看作POVM的例子，然而并没有新发现. 下面更复杂的例子说明了POVM形式体系在量子计算和量子信息中的向导作用. 假设Alice 向Bob发送状态\(|\psi_1\rang = |0\rang\) 或者状态\(|\psi_2\rang=(|0\rang+|1\rang)/\sqrt{2}\) . 因为\(|\psi_1\rang\)和\(|\psi_2\rang\)是不正交的，因此Bob不能完全可靠地确定他收到的是\(|\psi_1\rang\)还是\(|\psi_2\rang\). 然而，对Bob来说，执行一个测量，只在某些时候可以区分发来的状态并且永远不误判状态是可能的. 考虑一个包含如下三个元素的POVM，

\(E_1=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}|1\rang\lang1|,\)

\(E_1=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\frac{(|0\rang-|1\rang)(\lang0|-\lang1|)}{2},\)

\(E_3=I-E_1-E_2.\)

很容易验证这些半正定算子满足完备性关系\(\sum_{m}E_m=I\), 因此构成合格的POVM.

(1) 假设Alice 发送的是状态\(|\psi_1\rang = |0\rang\)，Bob执行POVM \(\{E_1,E_2,E_3\}\) 描述的测量.

i) 用测量算符\(E_1\) 作用得到结果1的概率\(p(1)=\lang \psi_1|M_1^\dagger M_1|\psi_1\rang=\lang \psi_1|E_1|\psi_1\rang=\lang0|\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}|1\rang\lang1||0\rang=\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\lang0|1\rang\lang1|0\rang=0;\)

ii) 用测量算符\(E_2\) 作用得到结果2的概率

​ \(p(2)=\lang \psi_1|M_2^\dagger M_2|\psi_1\rang=\lang \psi_1|E_2|\psi_1\rang=\lang0|\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\frac{(|0\rang-|1\rang)(\lang0|-\lang1|)}{2}|0\rang\\ =\frac{\sqrt{2}}{2(1+\sqrt{2})}\lang0|(|0\rang-|1\rang)(\lang0|-\lang1|)|0\rang=1-\frac{\sqrt{2}}{2} >0;\)

iii) 用测量算符\(E_3\) 作用得到结果3的概率

​ \(p(3)=\lang \psi_1|M_3^\dagger M_3|\psi_1\rang=\lang \psi_1|E_3|\psi_1\rang=\lang 0|I-E_1-E_2|0\rang=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

(2) 假设Alice 发送的是状态\(|\psi_2\rang=(|0\rang+|1\rang)/\sqrt{2}\)，Bob执行POVM\(\{E_1,E_2,E_3\}\) 描述的测量.

i) 用测量算符\(E_1\) 作用得到结果1的概率

​ \(p(1)=\lang \psi_2|M_1^\dagger M_1|\psi_2\rang=\lang \psi_2|E_1|\psi_2\rang=\frac{(\lang0|+\lang1|)}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}|1\rang\lang1|\frac{(|0\rang+|1\rang)}{\sqrt{2}}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}>0;\)

ii) 用测量算符\(E_2\) 作用得到结果2的概率

​ \(p(2)=\lang \psi_2|M_2^\dagger M_2|\psi_2\rang=\lang \psi_2|E_2|\psi_2\rang=\frac{(\lang0|+\lang1|)}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\frac{(|0\rang-|1\rang)(\lang0|-\lang1|)}{2}\frac{(|0\rang+|1\rang)}{\sqrt{2}}=0;\)

iii) 用测量算符\(E_3\) 作用得到结果3的概率

​ \(p(3)=\lang \psi_2|M_3^\dagger M_3|\psi_2\rang=\lang \psi_2|E_3|\psi_2\rang=\lang \psi_2|I-E_1-E_2|\psi_2\rang=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

根据上述分析可知，如果得到结果1，则可不出错地猜测原来的状态是\(|\psi_2\rang\); 如果得到结果2，则可不出错地猜测原来的状态是\(|\psi_1\rang\); 如果得到结果3，则只能判断原来的状态既不是状态\(|\psi_1\rang\)也不是状态\(|\psi_2\rang\). 也可以理解为，如果用测量算符\(E_1\), 有输出说明原来的状态是\(|\psi_2\rang\); 如果用测量算符\(E_2\), 有输出说明原来的状态是\(|\psi_1\rang\); 如果用测量算符\(E_3\), 得不到任何有用信息. 因此Bob 永远不会对所收到的状态作出误判，这个不错性是以有时Bob得不到判别状态的信息为代价的. 这个简单的例子说明在仅关心测量统计的情况下，POVM形式体系是对量子测量的认识的简单直观途径.

小结：POVM是一种特殊的一般测量，出了满足完备性关系\(\sum_{m}M_m^\dagger M_m =\sum_{m}E_m=I\)，还要求每个算符\(E_m =P_m^\dagger P_m\)是半正定的，即\(\lang \psi|E_m|\psi\rang=\lang \psi|M_m^\dagger M_m|\psi\rang=p(m) \geq 0.\)

5.5 一般测量，投影测量及POVM的关系

(1) 一般测量 Vs 投影测量

投影测量是一种特殊的一般测量.

一般测量 \(\Longleftrightarrow\)完备性\(\Longleftrightarrow\)\(\sum_{i=1}^{n}M_i^{\dagger} M_i = I\)

投影测量 \(\Longleftrightarrow\)完备性 + 正交\((M_i)\)+厄米\((M_i)\)

​ \(\Longleftrightarrow\)\(\sum_{i=1}^{n}M_i^{\dagger} M_i = I\) plus \(M_i M_j = \delta_{ij} M_i\) plus \(M_i = M_i^\dagger\).

(2) 投影测量 Vs POVM

投影测量是一种特殊的POVM.

投影测量 \(\Longleftrightarrow\)完备性+正交\((M_i)\)+厄米\((M_i)\)

​ \(\Longleftrightarrow\)\(\sum_{i=1}^{n}M_i^{\dagger} M_i = I\) plus \(M_i M_j = \delta_{ij} M_i\) plus \(M_i = M_i^\dagger\).

POVM \(\Longleftrightarrow\) 完备性 + 半正定性\((E_i)\)

​ \(\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n}M_i^{\dagger} M_i = \sum_{i=1}^{n}E_i =I\) plus \(\lang \psi|E_i|\psi\rang >0\).

(3) 一般测量 Vs POVM

POVM是一种特殊的一般测量.

一般测量 \(\Longleftrightarrow\)完备性\(\Longleftrightarrow\)\(\sum_{i=1}^{n}M_i^{\dagger} M_i = I\)

POVM \(\Longleftrightarrow\) 完备性 + 半正定性\((E_i)\)

​ \(\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n}M_i^{\dagger} M_i = \sum_{i=1}^{n}E_i =I\) plus \(\lang \psi|E_i|\psi\rang >0\).

总结：投影测量 \(\subseteq\) POVM \(\subseteq\) 一般测量

参考文献

[1] 马瑞霖. 量子密码通信[M]. 北京：科学出版社，2006.

[2] [英]尼尔森，庄著. 量子计算和量子信息(一)--量子计算部分[M]. 赵千川译. 北京：清华大学出版社，2009.

[3] [法]Emmanuel Desurvire. Classical and Quantum Information Theory[M]. 北京：科学出版社，2013.