高等数学 - 基础概念

熟悉数学的语言。
有些定义可能并不符合直觉。
摘录于 《高等数学·第七版》同济大学数学系 高等教育出版社，部分有删改。

定义类

数列的极限

• 定义：设 \(\{x_n\}\) 为一数列，如果存在常数 \(a\) ，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，总存在正整数 \(N\) ，使得当 \(n>N\) 时，不等式 \(|x_n-a|<\varepsilon\) 都成立，那么就称常数 \(a\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限，或者称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\) ，记为 \(\lim\limits_{n\to \infin}x_n=a\) 。
• 定义的理解：当 \(n\) 足够大时，\(x_n\) 和 极限的距离总能够小于给定的一个确定的数。

函数的极限

• 定义：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 \(A\) ，对于任意给定的整数 \(\varepsilon\) ，总存在正数 \(\delta\) ，使得当 \(x\) 满足不等式 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) ，那么称常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限，记作 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\) 或 \(f(x)\to A(x\to x_0)\) 。
• 定义2：设函数 \(f(x)\) 当 \(|x|\) 大于某一正数时有定义。如果存在常数 \(A\) ，对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ，总存在着正数 \(X\) ，使得当 \(x\) 满足不等式 \(|x|>X\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) ，那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to \infin\) 时的极限，记作 \(\lim\limits_{x\to \infin}f(x)=A\) 或 \(f(x)\to A(x\to \infin)\) 。
• 函数的极限相比数列极限的定义，多了趋近某一个点的形式。对于趋近于某一点的形式，即为当 \(x\) 足够靠近 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 和 极限的距离总能够小于给定的一个确定的数。

极值

• 定义：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义，如果对于去心邻域内的任一 \(x\) ，有 \(f(x)<f(x_0)\) （或 \(f(x)>f(x_0)\)），那么就称 \(f(x_0)\) 是函数 \(f(x)\) 的一个极大值（或极小值）。
• 极值并不要求连续，更不要求可导。\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可能存在折点，甚至可能存在跳跃点。
• 极值和最值：极值是邻域上的极值，最值是区间上的最值。除此之外，极值和最值等价。

间断点

• 第一类间断点：如果 \(x_0\) 是函数 \(f(x)\) 的间断点，但左极限 \(f(x_0^-)\) 和右极限 \(f(x_0^+)\) 都存在，则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的第一类间断点。
• 第二类间断点：如果间断点不是第一类间断点，则为第二类间断点。

导数

• 定义：设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\) （点 \(x_0+\Delta x\)仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) ，如果 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 之比当 \(\Delta x \to 0\) 时的极限存在，那么称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，并称这个极限为函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数，记为 \(f'(x_0)\) ，即 \(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\) 。

微分

• 定义：设函数 \(y=f(x)\) 在某区间内有定义，\(x_0\) 及 \(x_0+\Delta x\) 在这区间内，如果函数的增量 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) 可表示为 \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\) ，其中 \(A\) 是不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，那么称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 是可微的，而 \(A\Delta x\) 叫做函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的微分，记作 \(\text{d}y\) 。即 \(\text{d}y=A\Delta x\) 。

单调性

• 设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\) ，区间 \(I\subset D\) ，如果对于区间 \(I\) 上任意两点 \(x_1,x_2\) ，恒有 \(f(x_1)<f(x_2)\) ，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是单调增加的；如果恒有 \(f(x_1)>f(x_2)\) ，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是单调减少的。

凹凸性

• 设 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，如果对 \(I\) 上任意两点 \(x_1,x_2\) 恒有 \(f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\) ，则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是（向上）凹的；如果恒有 \(f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\) ，那么称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上是（向上）凸的。
• 凹凸性是一个比较强的定义，折线不符合定义，间断也不符合定义，且必须是严格大于或小于。

拐点

• 一般地，设 \(y=f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，\(x_0\) 是 \(I\) 内的点，如果曲线 \(y=f(x)\) 在经过点 \((x_0,f(x_0))\) 时，曲线 的凹凸性改变了，那么就称点 \((x_0,f(x_0))\) 为这曲线的拐点。

曲率

• 对光滑曲线，取曲线上的一段弧，切线从弧的起点 \(M\) 到终点 \(M'\) 过程中，切线转过的角度记为 \(\Delta \alpha\) ，弧长为 \(\Delta s\) ，称一段弧的平均曲率为 \(\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\) ，平均曲率在 \(\Delta s\to 0\) 时的极限称为曲线在点 \(M\) 处的曲率，即 \(K=\lim\limits_{\Delta s\to 0}|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|\) 。
• 曲率越大，曲线的弯曲程度越大。

曲率圆，曲率半径

• 设曲线在点 \(P\) 处有曲率 \(K\) ，在曲线凹侧以 \(\frac{1}{K}\) 为半径作切圆，称为曲率圆，\(\frac{1}{K}\) 称为曲率半径。

原函数

• 如果在区间 \(I\) 上，可导函数 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\) ，即对任一 \(x\in I\) ，都有 \(F'(x)=f(x)\) 或 \(\text{d}F(x)=f(x)\text{d}x\) ，那么函数 \(F(x)\) 就称为 \(f(x)\) （或 \(f(x)\text{d}x\)） 在区间 \(I\) 上的一个原函数。

不定积分

• 在区间 \(I\) 上，函数 \(f(x)\) 的带有任一常数项的原函数称为 \(f(x)\) （或\(f(x)\text{d}x\) ） 在区间 \(I\) 上的不定积分，记作 \(\int f(x)\text{d}x\) 。其中 \(\int\) 称为积分号，\(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x)\text{d}x\) 称为被积表达式， \(x\) 称为积分变量。

定积分

• 设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，在 \([a,b]\) 中任意插入若干个分点 \(a=x_0<x_1<x_2<...<x_{n-1}<x_n=b\) ，把区间 \([a,b]\) 分成 \(n\) 个小区间， \([x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n]\) ，各个小区间的长度依次为 \(\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}\) ，在每个小区间 \([x_{i-1},x_i]\) 上任取一点 \(\xi_i\) ，作函数值 \(f(\xi_i)\) 与小区间长度 \(\Delta x_i\) 的乘积 \(f(\xi_i)\Delta x_i\) ，并作出和 \(S=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i\) ，记 \(\lambda=max(\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n)\) ，如果当 \(\lambda\to 0\) 时，和 \(S\) 的极限总存在，且与闭区间 \([a,b]\) 的分法和 \(\xi_i\) 的取法无关，则称和 \(S\) 的极限 \(I\) 为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分（简称积分），记作 \(\int_a^{b}f(x)\text{d}x\) ，即 \(\int_a^{b}f(x)\text{d}x=I=\lim\limits_{\lambda \to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i\) 。其中 \(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x)\text{d}x\) 称为被积表达式，\(x\) 叫做积分变量， \(a\) 叫做积分下限， \(b\) 叫做积分上限， \([a,b]\) 叫做积分区间。

例子：（2019数学一）求曲线 \(y=e^{-x}\sin x(x\ge 0)\) 与 \(x\) 轴之间图形的面积。

解：注意，求图形面积要取绝对值（即要考虑函数为负的情况）。为 \(\int_{0}^{\infin}|y|\text{d}x\) 。进行分段讨论，也即为 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infin} \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}e^{-x}\sin x\text{d}x+\sum_{n=0}^{\infin}\int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi}-e^{-x}\sin x\text{d}x\) 。而 \(F(x)=-\frac{1}{2}(e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x)+C\) ，即为 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infin}\frac{1}{2}(e^{2n\pi}+e^{(2n+1)\pi})+\sum_{n=0}^{\infin}\frac{1}{2}(e^{(2n+1)\pi+e^{(2n+2)\pi}})=\frac{1}{2}(\frac{1+2e^\pi+e^{2\pi}}{1-e^{2\pi}})=\frac{1+e^\pi}{2(1-e^\pi)}\) 。