高等数学 - 多元函数

1 全微分

定义 设函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 的某邻域内有定义，如果函数在 \((x,y)\) 的全增量 \(\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\) 可表示为 \(\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\) ，\(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\) ，则称 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处可微分， \(A\Delta x+B\Delta y\) 称为 \(f(x,y)\) 在 \((x,y)\) 处的全微分。

性质 若可全微分，则 \(\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y\) 。

2 多元复合函数求导

\(\begin{cases} u=u(t) \\ v=v(t) \\ z=f(u,v) \end{cases}\) \(\implies\)

$ \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}$

\(\begin{cases} u=u(x,y) \\ v=v(x,y) \\ z=f(u,v) \end{cases}\) \(\implies\)

\(\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \end{cases}\)

3 隐函数求导

\(F(x,y)=0\) \({\implies}\)

\(\frac{\text{d}F}{\text{d}x}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}=F_x+F_yy'(x)=0\) \(\implies\)

$ y'=-\frac{F_x}{F_y}$

4 多元函数的极值

对 \(z=f(x,y)\)

必要条件：\(f_x=0,f_y=0\) 。

充分条件：取 \(\begin{cases} A=f_{xx}\\ B=f_{xy}\\ C=f_{yy} \end{cases}\)

对 \(AC-B^2 \begin{cases} \gt 0 & \text{有极值，A<0极大，A>0极小}\\ = 0 & \text{需要进一步讨论} \\ \lt 0 & \text{没有极值} \end{cases}\)

理解：\(f_{xx}\) 表示 \(x\) 方向上的切线沿 \(x\) 方向变化的速度，\(f_{yy}\) 表示 \(y\) 方向上切线沿 \(y\) 方向变化的速度，两者都是极值点应有的特征。\(f_{xy}\) 表示 \(x\) 方向上的切线沿 \(y\) 方向变化的速度，这不是极值点应有的特征（可以不变），如果变化过大，则证明有异常。

5 条件极值

拉格朗日乘数法：要找函数 \(z=f(x,y)\) 在附加条件 \(\varphi(x,y)=0\) 下的可能极值点，则作拉格朗日函数：\(L(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)\) ，分别对 \(x\) 和 \(y\) 求偏导数，得到以下：
\(\begin{cases} f_x(x,y)+\lambda \varphi_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)+\lambda \varphi_y(x,y)=0\\ \varphi(x,y)=0 \end{cases}\)
求出 \(x,y,\lambda\) ，就是可能的极值点。