面对“$n$ 个数中选 $k$ 个数”之类的问题，脑子里第一个想到指数型生成函数。
重要技巧：进行一个游戏，进行的期望次数=Σ（进行 i 次还没有停止的概率）。
证明：阿贝尔变换即可。
于是就可以设 $P(i)$ 为进行 $i$ 次的概率，令 $F(z)=\sum\limits_{i \geq 0} P(i)z^i$，则答案为 $F(z)$ 的系数和。
特别地，对于指数型生成函数，求的就是 $F(z)=\sum\limits_{i \geq 0} P(i)\frac{z^i}{i!}$ 的系数和。
然后就是利用 $e^z=\sum\limits_{i \geq 0} \frac{z^i}{i!}$ 无限转有限，即 $\sum\limits_{i \geq k} \frac{z^i}{i!}=e^z-\sum\limits_{i=0}^{k-1} \frac{z^i}{i!}$
然后多项式乘法，得到 $F(z)=\sum\limits_{i=0}^{k-1} G(z)e^{i/k}$，其中 $G(z)$ 是关于 $z$ 的多项式。
拆出来，即求一些
$ c_j z^j \sum\limits_{i \geq 0} \frac{(pz)^i}{i!} $
$ = c_j \sum\limits_{i \geq 0} p^i \frac{z^{i+j}}{i!} $
注意我们要求的是 $\frac{z^k}{k!}$ 的系数，所以上面式子的贡献是……
$ = c_j \sum\limits_{i \geq 0} p^i \frac{(i+j)!}{i!} $
$ = c_j j! \sum\limits_{i \geq 0} {i+j \choose i} p^i $
$ = c_j j! (\frac{1}{1-p})^{j+1}$ （具体数学教了你什么？）
哈哈完事（注意要有 $0 \leq p < 1$）
以上步骤可以 $O(n^3)$ 内完成~