二叉堆
目录
1、思考
- 设计一种数据结构，用来存放整数，要求提供 3 个接口
- 添加元素
- 获取最大值
- 删除最大值
- 有没有更优的数据结构？
- 堆
- 获取最大值：O(1)、删除最大值：O(logn)、添加元素：O(logn)
- 堆
2、堆（Heap）
- 堆（Heap）也是一种树状的数据结构（不要跟内存模型中的“堆空间”混淆），常见的堆实现有
- 二叉堆（Binary Heap，完全二叉堆）
- 多叉堆（D-heap、D-ary Heap）
- 索引堆（Index Heap）
- 二项堆（Binomial Heap）
- 斐波那契堆（Fibonacci Heap）
- 左倾堆（Leftist Heap，左式堆）
- 斜堆（Skew Heap）
- 堆的一个重要性质：任意节点的值总是 ≥（ ≤ ）子节点的值
- 如果任意节点的值总是 ≥ 子节点的值，称为：最大堆、大根堆、大顶堆
- 如果任意节点的值总是 ≤ 子节点的值，称为：最小堆、小根堆、小顶堆
- 由此可见，堆中的元素必须具备可比较性（跟二叉搜索树一样）
3、堆的基本接口设计
- int size(); // 元素的数量
- boolean isEmpty(); // 是否为空
- void clear(); // 清空
- void add(E element); // 添加元素
- E get(); // 获得堆顶元素
- E remove(); // 删除堆顶元素
- E replace(E element); // 删除堆顶元素的同时插入一个新元素
4、二叉堆
-
二叉堆的逻辑结构就是一棵完全二叉树，所以也叫完全二叉堆
-
鉴于完全二叉树的一些特性，二叉堆的底层（物理结构）一般用数组实现即可
-
索引 i 的规律（ n 是元素数量）
-
如果 i = 0 ，它是根节点
-
如果 i > 0 ，它的父节点的索引为 floor( (i – 1) / 2 )
-
如果 2i + 1 ≤ n – 1，它的左子节点的索引为 2i + 1
-
如果 2i + 1 > n – 1 ，它无左子节点
-
如果 2i + 2 ≤ n – 1 ，它的右子节点的索引为 2i + 2
-
如果 2i + 2 > n – 1 ，它无右子节点
-
5、获取最大值
private void emptyCheck() {
if (size == 0) {
throw new IndexOutOfBoundsException("Heap is empty");
}
}
@Override
public E get() {
emptyCheck();
return elements[0];
}
6、最大堆——添加
6.1、总结
- 循环执行以下操作（图中的 80 简称为 node）
- 如果 node ＞ 父节点
- 与父节点交换位置
- 如果 node ≤ 父节点，或者 node 没有父节点
- 退出循环
- 如果 node ＞ 父节点
- 这个过程，叫做上滤（Sift Up）
- 时间复杂度：O(logn)
@Override
public void add(E element) {
elementNotNullCheck(element);
ensureCapacity(size + 1);
elements[size++] = element;
siftUp(size - 1);
}
/**
* 让index位置的元素上滤
*/
private void siftUp(int index) {
E element = elements[index];
while (index > 0) {
// 父节点索引 = (子节点索引-1) / 2
int parentIndex = (index - 1) >> 1;
E parent = elements[parentIndex];
if (compare(element, parent) <= 0) break;
// 将父元素存储在index位置
elements[index] = parent;
// 重新赋值index
index = parentIndex;
}
elements[index] = element;
}
6.2、最大堆——添加——交换位置的优化
- 一般交换位置需要3行代码，可以进一步优化
- 将新添加节点备份，确定最终位置才摆放上去
- 仅从交换位置的代码角度看
- 可以由大概的 3 * O(logn) 优化到 1 * O(logn) + 1
7、最大堆——删除
7.1、最大堆——删除——总结
- 用最后一个节点覆盖根节点
- 删除最后一个节点
- 循环执行以下操作（图中的 43 简称为 node）
- 如果 node < 最大的子节点
- 与最大的子节点交换位置
- 如果 node ≥ 最大的子节点， 或者 node 没有子节点
- 退出循环
- 如果 node < 最大的子节点
- 这个过程，叫做下滤（Sift Down），时间复杂度：O(logn)
- 同样的，交换位置的操作可以像添加那样进行优化
/**
* 删除堆顶元素
*/
public E remove() {
emptyCheck();
int lastIndex = --size;
E root = elements[0];
elements[0] = elements[lastIndex];
elements[lastIndex] = null;
siftDown(0);
return root;
}
/**
* 让index位置的元素下滤
* @param index
*/
private void siftDown(int index) {
E element = elements[index];
int half = size >> 1; // 非叶子节点的数量
// 第一个叶子节点的索引 == 非叶子节点的数量
// index < 第一个叶子节点的索引
// 必须保证index位置是非叶子节点
while (index < half) {
// index的节点有2种情况
// 1.只有左子节点
// 2.同时有左右子节点
// 默认为左子节点跟它进行比较
int childIndex = (index << 1) + 1;
E child = elements[childIndex];
// 右子节点
int rightIndex = childIndex + 1;
// 选出左右子节点最大的那个
if (rightIndex < size && compare(elements[rightIndex], child) > 0) {
child = elements[childIndex = rightIndex];
}
if (compare(element, child) >= 0) break;
// 将子节点存放到index位置
elements[index] = child;
// 重新设置index
index = childIndex;
}
elements[index] = element;
}
8、replace
@Override
public E replace(E element) {
elementNotNullCheck(element);
E root = null;
if (size == 0) {
elements[0] = element;
size++;
} else {
root = elements[0];
elements[0] = element;
siftDown(0);
}
return root;
}
9、最大堆——批量建堆（Heapify）
- 批量建堆，有 2 种做法
- 自上而下的上滤
- 自下而上的下滤
9.1、最大堆 – 批量建堆 – 自上而下的上滤
for(int i = 1; i < size; i++){
siftUp(i);
}
9.2、最大堆 – 批量建堆 – 自下而上的下滤
for(int i = (size >> 1) - 1; i >= 0; i--){
siftDown(i);
}
9.3、最大堆 – 批量建堆 – 效率对比
- 所有节点的深度之和
- 仅仅是叶子节点，就有近 n/2 个，而且每一个叶子节点的深度都是 O(logn) 级别的
- 因此，在叶子节点这一块，就达到了 O(nlogn) 级别
- O(nlogn) 的时间复杂度足以利用排序算法对所有节点进行全排序
- 所有节点的高度之和
- 假设是满树，节点总个数为 n，树高为 h，那么 n = 2 h − 1
- 所有节点的树高之和 H(n) = 2 0 ∗ h − 0 + 2 1 ∗ h − 1 + 2 2 ∗ h − 2 + ⋯ + 2 h −1 ∗ h − h − 1)]
- H(n) = h ∗ 2 0 + 2 1 + 2 2 + ⋯ + 2 h −1 − 1 ∗ 2 1 + 2 ∗ 2 2 + 3 ∗ 2 3 + ⋯ + h − 1 ∗ 2 h−1]
- H(n) = h ∗ 2 h − 1 − h − 2 ∗ 2 h + 2]
- H(n) = h ∗ 2 h − h − h ∗ 2 h + 2 h+1 − 2
- H(n) = 2 h+1 − h − 2 = 2 ∗ (2 h − 1) − h = 2n − h = 2n − log2(n + 1) = O(n)
公式推导
- S(h) = 1 ∗ 2 1 + 2 ∗ 2 2 + 3 ∗ 2 3 + ⋯ + h − 2 ∗ 2 h−2 + h − 1 ∗ 2 h−1
- 2S(h) = 1 ∗ 2 2 + 2 ∗ 2 3 + 3 ∗ 2 4 + ⋯ + h − 2 ∗ 2 h−1 + h − 1 ∗ 2 h
- S(h) – 2S(h) = [2 1 + 2 2 + 2 3 + ⋯ + 2 h−1 ] − h − 1 ∗ 2 h = (2 h − 2) − h − 1 ∗ 2 h
- S(h) = h − 1 ∗ 2 h − (2 h − 2) = h − 2 ∗ 2 h + 2
9.4、批量建堆
public BinaryHeap(E[] elements, Comparator<E> comparator) {
super(comparator);
if (elements == null || elements.length == 0) {
this.elements = (E[]) new Object[DEFAULT_CAPACITY];
} else {
size = elements.length;
int capacity = Math.max(elements.length, DEFAULT_CAPACITY);
this.elements = (E[]) new Object[capacity];
for (int i = 0; i < elements.length; i++) {
this.elements[i] = elements[i];
}
heapify();
}
}
/**
* 批量建堆
*/
private void heapify() {
// 自上而下的上滤
// for (int i = 1; i < size; i++) {
// siftUp(i);
// }
// 自下而上的下滤
for (int i = (size >> 1) - 1; i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
10、Top K问题
- 从 n 个整数中，找出最大的前 k 个数（ k 远远小于 n ）
- 如果使用排序算法进行全排序，需要 O(nlogn) 的时间复杂度
- 如果使用二叉堆来解决，可以使用 O(nlogk) 的时间复杂度来解决
- 新建一个小顶堆
- 扫描 n 个整数
- 先将遍历到的前 k 个数放入堆中
- 从第 k + 1 个数开始，如果大于堆顶元素，就使用 replace 操作（删除堆顶元素，将第 k + 1 个数添加到堆中）
- 扫描完毕后，堆中剩下的就是最大的前 k 个数
- 如果是找出最小的前 k 个数呢？
- 用大顶堆
- 如果小于堆顶元素，就使用 replace 操作