3d - 如果添加了平移，如何正确计算 3D Procrustes 问题中的旋转？

Question

我正在开发一个例程，该例程应该将感测的 3D 点云Q 与参考点云P最佳对齐。所涉及的变换包括旋转、平移和缩放（相似性）。有大量关于如何使用 SVD 计算转换的文献。我一直在关注这个：RJ Hanson 和 MJ Norris，“基于奇异值分解的测量分析”，SIAM 科学与统计计算杂志，第一卷。2，第 363-373 页，1981 年。

描述的算法如下：计算每个点集中的质心，计算中心点集；计算两个中心点集之间的协方差矩阵并对协方差矩阵执行 SVD：C = U * S * V'，其中C是协方差矩阵，S是其奇异值的对角矩阵，U和V是左侧和右奇异向量矩阵，分别。然后，您可以将变换的旋转分量计算为R = U' * V。

如果转换由旋转和（可选）缩放组成，则该算法对我非常有效，但如果存在平移，则它会失败。到目前为止，我还不明白我做错了什么。我也没有找到任何有用的数字示例，包括翻译并导致成功。

如果有人想看看，我也会上传我的代码。

标签： 3drotationsvd

Answer 1

正如 Mauricio Cele Lopez Belon 正确推测的那样，这是一个错误，而是一个思维错误。每当您在相似变换中进行非单位缩放时，要计算平移向量，您需要使用与缩放相乘的旋转矩阵： t = qC - s * R * pC，其中pC和qC是参考的质心和感测点分别设置，R计算的纯旋转矩阵，s缩放。您需要使用此等式而不是t = qC - R * pC（您经常在论文中找到），以获得正确的结果。如果有人对工作和单元测试的 C# 代码感兴趣，我会很高兴发送（这个地方有点太长了）。