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python - 如何在 FiPy 中编写具有自变量的方程项？

问题描述

我正在寻找使用 FiPy 求解扩散方程并阅读了他们的一些文档，但似乎找不到任何与编写包含作为自变量（即空间）函数的附加项的扩散项相关的内容。我发现的最接近的东西是在常见问题解答中，他们建议将附加条款重写为ConvectionTerm. 但是，我认为这仅适用于附加项是解变量而不是自变量的函数的情况。例如，我正在尝试使用以下扩散项求解一维扩散方程（其中导数与自变量 x 相关，y 是解变量）：

D * sin(x) * Div_x {sin(x) * Grad_x {y}}

我觉得这是一个非常简单的表达式，但是我找不到如何用 FiPy 表示法来表达它。任何帮助将不胜感激！

确切的代码：

from fipy import Variable,FaceVariable,CellVariable,Grid1D,ImplicitSourceTerm,TransientTerm,DiffusionTerm,Viewer,ConvectionTerm
from fipy.tools import numerix

D = 1
c0 = 1
ka = 1
r0 = 1

nx = 100
dx = 2*math.pi/100
mesh = Grid1D(nx=nx, dx=dx)
conc = CellVariable(name="concentration", mesh=mesh, value=0.) # This is the "phi" in the docs
valueLeft = c0
valueRight = 0
conc.constrain(valueRight, mesh.facesRight)
conc.constrain(valueLeft, mesh.facesLeft)
timeStepDuration = 0.9 * dx**2 / (2 * D)
steps = 100
show_per_steps = 50

A = 1 / (r0**2 * numerix.sin(mesh.x)[0])
dA = -(numerix.cos(mesh.x)[0])/(r0**2 * numerix.sin(mesh.x)[0]**2)
dsindA = (numerix.cos(mesh.x)[0])**3/(numerix.sin(mesh.x)[0])**2
eqX = TransientTerm() + ImplicitSourceTerm(ka) == DiffusionTerm(D*A*numerix.sin(mesh.x)[0]) - ConvectionTerm(D*dA*numerix.cos(mesh.x)[0])+ D*conc*dsindA

from builtins import range
for step in range(steps):
    eqX.solve(var=conc, dt=timeStepDuration)
    if __name__ == '__main__' and step % show_per_steps == 0:
        viewer = Viewer(vars=(conc), datamin=0., datamax=c0)
        viewer.plot()

标签： pythonfipy

解决方案

FiPy 允许项的系数是空间的函数。例如，以下在 FiPy 中工作，

from fipy import Grid1D, CellVariable, Viewer
from fipy import TransientTerm, numerix, DiffusionTerm
from fipy import LinearLUSolver

m = Grid1D(nx=100, Lx=numerix.pi / 4.)

v = CellVariable(mesh=m)
v[:] = m.x**2

eqn = TransientTerm() == DiffusionTerm(numerix.sin(m.x))
vi = Viewer(v, colorbar=None)
vi.plot()
solver = LinearLUSolver()
for i in range(10):
    eqn.solve(v, dt=0.1, solver=solver)
    vi.plot()
    print('step', i)

input('stopped')

在上面，扩散系数是空间的函数。m.x是CellVariable保持单元格中心位置的a 。numerix用于启用对 FiPy 变量的操作，其方式与 Numpy 对 Numpy 数组的操作相同。

现在，在上述问题中，存在sin(x)FiPy 中不允许的导数的外部。一切都需要适合衍生产品才能与 FiPy 一起使用。所以，我们需要重写这个项，使所有的系数都在导数之内。对于任何一般情况，我们可以写

这允许我们使用扩散、对流和源来表示 FiPy 中的术语。如果f=sin(x)然后g=sin(x)FiPy 代码将是

s = numerix.sin(m.cellCenters)
c = numerix.cos(m.cellCenters)
eqn = ... + DiffusionTerm(D * s[0] * s[0]) - ConvectionTerm(D * s * c) + D * y * (c[0] * c[0] - s[0] * s[0])

包括...在内，因为我不知道完整的方程式。

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